WikiSort.ru - Не сортированное

Комбинирование наборов

Возможно, самая фундаментальная интерпретация сложения — комбинирование наборов:

• Если два или более не пересекающихся наборов объектов объединены в один набор, то число объектов в полученном наборе равно сумме числа объектов в исходных наборах.

Эту интерпретацию легко визуализировать, при этом опасность двусмысленности будет минимальной. Это также полезно в высшей математике; строгое определение суммирования дано ниже, см. Натуральные числа ниже. Однако не понятно, как с помощью этой интерпретации сложения объяснить сложение дробных или отрицательных чисел^[8].

Одним из возможных решений будет обращение к набору объектов, которые могут быть легко разделены, например, пироги или ещё лучше — это стержни с сегментами^[9]. Вместо комбинирования наборов сегментов стержни могут быть присоединены друг к другу концами, что иллюстрирует другую концепцию сложения: складываются не стержни, складываются их длины.

Расширение длины

Вторая интерпретация сложения заключается в расширении начальной длины на величину добавляемой длины:

• Когда начальная длина расширяется добавляемой длиной, то полученная длина равна сумме начальной длины и длины, которую к ней добавили^[10].

Сумму a + b можно интерпретировать как бинарную операцию объединения a и b в алгебраическом смысле, также её можно интерпретировать как добавление b единиц к числу a. В последней интерпретации части суммы a + b играют асимметричные роли, и операция a + b рассматривается как применение к числу a унарной операции +b^[11]. Унарный подход позволяет перейти к вычитанию, ведь каждая унарная операция сложения имеет обратную унарную операцию вычитания и наоборот.

Коммутативность

Сложение коммутативно: можно изменять порядок слагаемых в сумме и результат от этого не изменится. В символьной записи: если a и b — какие-либо два числа, тогда

a + b = b + a.

То, что сложение коммутативно, известно как «коммутативный закон сложения». Эта фраза означает, что есть и другие законы коммутативности: например, существует коммутативный закон умножения. Тем не менее, многие бинарные операции, такие как вычитание и деление, не коммутативны.

Ассоциативность

Сложение ассоциативно: при сложении трёх или более чисел порядок не имеет значения.

Например, сумма a + b + c означает (a + b) + c или a + (b + c)? Свойство ассоциативности сложения говорит нам, что выбор одного из предложенных вариантов не имеет значения.^[стиль] Для любых чисел a, b, и c будет справедливо равенство (a + b) + c = a + (b + c). Например, (1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6 = 1 + 5 = 1 + (2 + 3).

Когда сложение используется вместе с другими операциями, порядок становится важен. В обычном порядке операций сложение имеет более низкий приоритет, чем возведение в степень, извлечение корня, умножение и деление, но имеет одинаковый приоритет с операцией вычитания^[12].

Нейтральный элемент

Если добавить ноль к любому числу, значение этого числа не изменится; ноль — это нейтральный элемент для операции сложения, также известный как аддитивная единица^[en]. Символьная запись: для любого a,

a + 0 = 0 + a = a.

Этот закон был впервые описан в Исправленном трактате Брахмы^[en], который был написан Брахмагуптой в 628 г. Он написал этот закон в виде трёх отдельных законов: для отрицательного, положительного и нулевого числа a, и для описания этих законов он использовал слова, а не алгебраические символы. Позже индийские математики^[en] уточнили понятия; около 840 г., Махавира^[en] написал, что «ноль становится таким же, как то, что добавляется к нему», что соответствовало записи 0 + a = a. В 12 веке Бхаскара II написал: «Если добавить ничего или вычесть ничего, то количество, положительное или отрицательное, остаётся таким же, как и было», что соответствует записи a + 0 = a^[13].

Следующее число

Сложение единицы также играет особую роль для целых чисел: для любого целого числа a целое число (a + 1) — это наименьшее число, на единицу большее, чем a, также известное как следующее число^[en] за числом a^[14]. Например, 3 — это следующее число за числом 2 и 7 — это следующее число за числом 6. С учетом этого следования значение «a» + «b» можно рассматривать, как ${\displaystyle b}$ -е следующее за «а», таким образом, сложение можно определить как итеративное последовательное нахождение следующего числа. Например, 6 + 2 будет 8, поскольку 8 следует за 7, которое следует за 6, итак, 8 — это второе следующее за 6.

Единицы измерения

Чтобы складывать физические величины, их нужно выразить через общие единицы измерения^[15]. Например, если сложить 50 миллилитров и 150 миллилитров, получится 200 миллилитров. Однако, если к 5 футам прибавить 2 дюйма, в сумме получится 62 дюйма, потому что 60 дюймов — это то же самое, что и 5 футов. С другой стороны, обычно нет смысла складывать 3 метра и 4 квадратных метра, так как эти единицы измерения несравнимы; такие соображения являются ключевыми при анализе размерности.

Врождённая способность

Исследования развития математических способностей, которые начались в 1980-х годах, рассматривали феномен привыкания: младенцы смотрят дольше на ситуации, которые являются для них неожиданными^[16]. В эксперименте Карен Винн^[en] 1992 года использовались куклы Микки Мауса, с которыми проводились различные манипуляции за ширмой. Этот эксперимент показал, что пятимесячные младенцы ожидают, что 1 + 1 — это 2, и удивляются тому, когда оказывается, что 1 + 1 — это 1 или 3. Позже этот результат был подтверждён в других лабораториях с использованием разных методов^[17]. В другом эксперименте в 1992 году с малышами^[en] постарше, в возрасте от 18 до 35 месяцев, использовалось развитие моторных функций детей, позволявшее им доставать шарики для пинг-понга из коробки; младшие ребята хорошо справлялись с небольшим числом шариков, более старшие научились считать сумму до 5^[18].

Даже некоторые животные проявляют способность складывать, в особенности приматы. Эксперимент 1995 года был аналогичен эксперименту Винн 1992 года, но вместо кукол использовались баклажаны. Выяснилось, что макаки-резусы и эдиповы тамарины показывают схожие человеческим младенцам способности. Более того, один шимпанзе, после того, как его научили различать и понимать смысл арабских цифр от 0 до 4, смог считать сумму двух чисел без какой-либо подготовки^[19]. Позже было выяснено, что азиатские слоны способны овладеть базовыми арифметическими операциями^[20].

Овладение сложением детьми

Как правило, сначала дети учатся подсчёту^[en]. Когда даётся задача, в которой требуется объединить два предмета и три предмета, маленькие дети обращаются к помощи конкретных предметов, например, счёт на пальцах или помощь рисунка. По мере приобретения опыта, они учат или открывают для себя стратегию «подсчета»: когда требуется найти, сколько будет два плюс три, дети перечисляют два числа, идущие после числа три, проговаривая: «три, четыре, пять» (обычно загибая пальцы), и, в итоге, получая пять. Эта стратегия кажется почти универсальной; дети могут легко перенять её у сверстников или учителей^[21]. Многие дети сами доходят до этого. Накопив какой-то опыт, дети учатся складывать быстрее, используя коммутативность сложения, начиная перечислять числа от самого большого числа в сумме, как в описанном выше случае, начиная с трёх и перечисляя: «четыре, пять». В конце концов, дети начинают использовать какие-либо факты о сложении («примеры сложения наизусть^[en]»), получая их либо опытным путём, либо запоминая их. Когда одни факты осядут в памяти, дети начинают выводить неизвестные факты из известных. Например, ребёнок, складывающий шесть и семь, может знать, что 6 + 6 = 12, и что поэтому 6 + 7 на один больше, то есть 13^[22]. К такому способу вывода приходят довольно быстро и большинство учеников начальной школы полагаются на смесь всего того, что они запомнили и того, что они могут вывести, что в итоге позволяет им бегло складывать^[23].

В разных странах к изучению целых чисел и арифметики приступают в разных возрастах, в основном сложению учат в учреждениях дошкольного образования^[24]. При этом по всему миру к концу первого года начальной школы школьники обучаются сложению^[25].

Десятичная система

Для успешного сложения в десятичной системе нужно помнить или уметь быстро выводить 100 «фактов (примеров) сложения» для одноразрядных чисел. Кто-то может запомнить все эти факты, заучивая их, но стратегии изучения сложения путём использования шаблонов более информативны и для большинства людей более эффективны:^[26]

• Коммутативное свойство: использование шаблона a + b = b + a снижает количество «фактов о сложении», которых нужно запомнить, со 100 до 55.
• На один или на два больше: прибавление 1 или 2 — это базовая задача, и решить её можно перечислением (подсчетом) или, в конце концов, полагаясь на интуицию^[26].
• Ноль: поскольку ноль является нейтральным элементом для операции сложения (аддитивной единицей), постольку прибавить ноль просто. Тем не менее, во время изучения арифметики некоторым ученикам сложение представляется как процесс, во время которого слагаемые всегда увеличиваются; акцент на словесной формулировке^[en] задачи может помочь понять «исключительность» нуля^[26].
• Удваивание: складывание числа с самим собой связано с задачей удвоенного (повторного) подсчёта и умножением. Факты об удваивании являются основой для многих связанных с ними фактов, и ученикам легко их относительно легко понять^[26].
• Почти-удваивание (Суммы, близкие к операции удваивания): сумма 6 + 7 = 13 может быть быстро выведена из факта об удваивании 6 + 6 = 12 и прибавления единицы, или из факта 7 + 7 = 14 и вычитания единицы^[26].
• Пять и десять: суммы вида 5 + x и 10 + x обычно запоминаются рано и могут быть использованы для выведения других фактов. Например, результат суммы 6 + 7 = 13 может быть выведен с использованием факта 5 + 7 = 12 добавлением к последнему единицы^[26].
• Получение десятки (достраивание до десяти): существует такая стратегия, в которой 10 используется в качестве промежуточного результата при наличии слагаемых 8 или 9; например, 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14^[26].

По мере взросления ученики запоминают всё больше фактов, и учатся быстро выводить из них другие факты. Многие ученики не запоминают все факты, но могут быстро вывести требуемый^[23].

  ¹
  27
+ 59
————
  86

   4 5 , 1 0
+  0 4 , 3 4
————————————
   4 9 , 4 4

Сложение в других системах счисления

Сложение для чисел с другими основаниями идентично сложению в десятичной системе

В качестве примера можно рассмотреть сложение в двоичной системе счисления^[28]. Сложение двух одноразрядных двоичных чисел с использованием переноса является довольно простым:

0 + 0 → 0

0 + 1 → 1

1 + 0 → 1

1 + 1 → 0, переносится 1 (так как 1 + 1 = 2 = 0 + (1 × 2¹))

Сумма двух знаков «1» равна знаку «0», а 1 должна быть добавлена в следующий столбец. Эта ситуация аналогична тому, что происходит в десятичной системе при суммировании определённых однозначных чисел; если результат равен или превышает значение основания системы счисления (10), цифры слева увеличиваются:

5 + 5 → 0, перенос 1 (так как 5 + 5 = 10 = 0 + (1 × 10¹))

7 + 9 → 6, перенос 1 (так как 7 + 9 = 16 = 6 + (1 × 10¹))

Эта операция известна как «перенос»^[29]. Когда результат сложения превосходит диапазон значений и разряда, нужно «перенести» избыток, делённый на основание системы (то есть на 10 в десятичной системе) влево, добавляя его к значению в следующем разряде. Это связано с тем, что значение в следующем разряде в ${\displaystyle N}$ раз больше (в ${\displaystyle N}$ -ой системе счисления), чем значение в текущем разряде. Перенос в двоичной системе счисления работает также, как и в десятичной системе:

  1 1 1 1 1    (перенос)
    0 1 1 0 1
+   1 0 1 1 1
—————————————
  1 0 0 1 0 0 = 36

В этом примере складываются два числа: 01101₂ (13₁₀) и 10111₂ (23₁₀). В верхней строке указано наличие переноса. Начинаем складывать с правого столбца: 1 + 1 = 10₂. Здесь 1 переносится влево, а 0 записывается в нижней строке. Теперь складываются числа во втором столбце справа: 1 + 0 + 1 = 10₂; 1 переносится, а 0 записывается в нижней строке. Третий столбец: 1 + 1 + 1 = 11₂. В этом случае 1 переносится в нижней строке. В итоге получаем 100100₂ (или 36 в десятичной системе счисления).

Компьютеры

Аналоговые компьютеры работают напрямую с физическими величинами, поэтому их механизм сложения зависит от вида слагаемых. Механический сумматор может представлять два слагаемых в виде позиций скользящих блоков, в этом случае их можно складывать при помощи усредняющего рычага. Если слагаемые представлены в виде скоростей вращения двух валов, их можно сложить при помощи дифференциала. Гидравлический сумматор может складывать давления в двух камерах, используя второй закон Ньютона, чтобы уравновесить силы на сборку поршней. Наиболее типичный случай применения аналогового компьютера — это сложение двух напряжений (относительно заземления); это можно грубо реализовать при помощи схемы с резисторами, а в усовершенствованной версии используется операционный усилитель^[30].

Операция сложения является базовой в персональном компьютере. Производительность операции сложения и в особенности ограничения, связанные с механизмом переноса, влияют на общую производительность компьютера.

Абак, также называемый счётной доской — это вычислительный прибор, который использовался за много веков до принятия современной системы счисления и который всё ещё широко используется купцами, торговцами и клерками в Азии, Африке, и других континентах; предполагается, что абак создан не позднее 2700—2300 до н. э., тогда он использовался шумерами^[31].

Блез Паскаль изобрел механический калькулятор в 1642^[32][33]; это была первая операционная суммирующая машина. В этом калькуляторе механизм переноса осуществлялся благодаря гравитации. Это был единственный операционный калькулятор в 17 веке^[34] и самый первый автоматический цифровой компьютер. Суммирующая машина Паскаля была ограничена своим механизмом переноса, который позволял крутить колёса только в одну сторону и, таким образом, складывать. Чтобы вычитать, пользователь должен был использовать второй набор цифр для представления результата и методы дополнения^[en], которые включали в себя такое же количество шагов, как и сложение. Джованни Полени продолжил дело Паскаля, построив второй функциональный механический калькулятор в 1709 г. Циферблат этого калькулятора был из дерева, и однажды установленный он мог перемножать два числа между собой автоматически.

Сумматоры выполняют целочисленное сложение в электронных цифровых вычислительных машинах, обычно используя бинарную арифметику. В простейшей структуре используется сумматор волнового переноса (выходной перенос предыдущего в цепочке сумматора является входным переносом для следующего сумматора), это позволяет выполнять сложение для многоразрядных чисел. Небольшое улучшение представлено в сумматоре с пропуском переноса^[en], который действует похожим с человеческой интуицией образом; он не выполняет все переносы в сумме 999 + 1, он обходит группу девяток и перескакивает сразу к ответу^[35].

На практике сложение можно выполнять через сложение по модулю два и операцию «И» в сочетании с другими битовыми операциями, как показано ниже. Обе эти операции просто реализовать в цепях сумматоров, которые, в свою очередь, могут объединяться в более сложные логические операции. В современных цифровых компьютерах сложение целых чисел, как и другие команды целочисленной арифметики, являются одними из самых быстрых операций, в то же время они имеют огромное влияние на общую производительность компьютера, поскольку на целочисленные операции приходится существенная доля всех вычислений. Целочисленное сложение используется, например, в таких задачах как генерация адресов во время доступа к памяти и выборка команд во время определённого порядка их выполнения. Чтобы увеличить скорость, современные компьютеры вычисляют значения в разрядах параллельно; такие схемы называются выборка переноса, предвидение переноса^[en] и псевдоперенос в сумматоре Линга^[en]. В большинстве случаев реализация сложения на компьютере является гибридом последних трёх конструкций^[36][37]. В отличие от сложения на бумаге, сложение на компьютере часто изменяет слагаемые. На древнем абаке и доске для сложения во время выполнения операции сложения оба слагаемых уничтожались, оставалась только сумма. Влияние абака на математическое мышление было настолько велико, что в ранних латинских текстах часто утверждалось, что в процессе сложения «числа с числом» оба числа исчезают^[38]. Возвращаясь к современности, отметим, что инструкция ADD микропроцессора заменяет значение первого слагаемого суммой, второе слагаемое остаётся без изменений^[39]. В высокоуровневом языке программирования оценивание a + b не изменяет ни a, ни b; если ставится задача записать сумму в a, то это должно быть явно указано, обычно с выражением a = a + b. В некоторых языках программирования, таких как C или C++ эта запись сокращается до a += b.

// Iterative Algorithm 
int add(int x, int y){
    int carry = 0;  
    while (y != 0){        
       carry = AND(x, y);   // Logical AND 
       x     = XOR(x, y);   // Logical XOR
       y     = carry << 1;  // left bitshift carry by one  
   } 
   return x;   
}
// Recursive Algorithm
int add(int x, int y){
   return x if (y == 0) else add(XOR(x, y) , AND(x, y) << 1); 
}

На компьютере, в случае если результат сложения слишком большой для хранения, происходит арифметическое переполнение, что приводит к неправильному ответу или исключительной ситуации при выполнении программы. Непредвиденное арифметическое переполнение является довольно распространённой причиной программных ошибок. Такие ошибки переполнения может быть трудно обнаружить и диагностировать, потому что они могут проявляться только при очень больших входных наборах данных, которые не часто используют в тестах^[40]. Сложение вещественных чисел на современных компьютерах, как и все вычисления с плавающей точкой, реализованы аппаратно в специальном модуле, называемом математическим сопроцессором (название условное, так как в современных компьютерах физически он интегрируется в центральный процессор). При выполнении операции сложения с плавающей точкой также возможно переполнение, однако оно всегда вызывает исключение, и не останется незамеченным.

Ещё одной важной особенностью компьютерных вычислений с плавающей точкой является ограниченная точность представления вещественного числа, в связи с чем вычисления с плавающей точкой на компьютере выполняются, вообще говоря, приближённо, а к результатам вычислений (в том числе, промежуточным) применяется операция округления. Характерно, что округление, как правило, применяется даже к тем числам, которые в десятичной системе счисления представлены конечной дробью, т. е. точно (поскольку в наиболее распространённых компьютерах применяется двоичная система счисления). В связи с этим при суммировании на компьютере чисел с плавающей точкой сумма, как правило, зависит от последовательности суммирования слагаемых - иногда существенно, если порядки слагаемых значительно отличаются. С учётом данного обстоятельства при написании программ, где используется суммирование большого количества слагаемых, приходится прибегать к специальным мерам, направленным на снижение погрешности. Одним из наиболее эффективных методов снижения погрешности суммирования является алгоритм Кэхэна.

Натуральные числа

Есть два способа определения суммы двух натуральных чисел a и b. Если натуральные числа определяют через мощность множества с конечным числом элементов (мощность множества — это количество элементов в нём), тогда целесообразно дать следующее определение суммы:

• Пусть N(S) — мощность множества S. Возьмём два не пересекающихся множества A и B, причём N(A) = a и N(B) = b. Тогда a + b можно определить как: ${\displaystyle N(A\cup B)}$ ^[44][45][46].

Здесь, ${\displaystyle A\cup B}$  — это объединение множеств A и B. В альтернативной версии этого определения множества A и B перекрываются и тогда в качестве суммы берётся их дизъюнктное объединение, механизм, который позволяет отделять общие элементы, вследствие чего эти элементы учитываются дважды.

Другое известное определение рекурсивно:

• Пусть n⁺ — следующее^[en] за n натуральное число, например 0⁺=1, 1⁺=2. Пусть a + 0 = a. Тогда общая сумма определяется рекурсивно: a + (b⁺) = (a + b)⁺. Отсюда 1 + 1 = 1 + 0⁺ = (1 + 0)⁺ = 1⁺ = 2^[47].

В литературе существуют различные варианты этого определения. В рекурсионной теореме^{[неизвестный термин]} на частично упорядоченном множестве N² используется в точности определение, данное выше.^[48]. С другой стороны, в некоторых источниках предпочитают использовать ограниченную Рекурсионную теорему, которая применяется только к множеству натуральных чисел. Одни предлагают временно «зафиксировать» a, применяя рекурсию на b, чтобы определить функцию "a + ", и вставлять эти унарные операции для всех a, чтобы сформировать полную бинарную операцию^[49].

Это рекурсивное определение сложения было дано Дедекиндом ещё в 1854 году, и он расширил его в последующие десятилетия^[50]. С помощью математической индукции Дедекинд доказал свойства ассоциативности и коммутативности.

Целые числа

Простейшая концепция целого числа заключается в том, что целое число состоит из его абсолютной величины и знака (как правило, число положительное или отрицательное). Целое число ноль — это особый случай: ноль не является ни положительным, ни отрицательным числом. Соответствующее определение сложения должно учитывать следующие случаи:

• Пусть n — целое число и |n| - его абсолютное значение. Пусть a и b — целые числа. Если какое-либо из чисел a или b равно нулю, то считаем такое число нейтральным элементом (аддитивной единицей). Если a и b оба положительные, тогда положим a + b = |a| + |b|. Если a и b оба отрицательные, тогда a + b = −(|a|+|b|). Если a и b имеют разные знаки, то a + b — это разность между |a| и |b|, и знак перед этой разностью ставится такой, какой стоял перед слагаемым с наибольших абсолютным значением^[51][52]. Например, рассмотрим сумму: −6 + 4 = −2; так как у чисел −6 и 4 разные знаки, то их абсолютные значения вычитаются, и так как абсолютное значение отрицательного числа здесь больше абсолютного значения положительного, то ответ будет отрицательным.

Хотя это определение может быть полезным для конкретных задач, довольно трудно делать какие-то общие доказательства, так как надо рассматривать слишком много случаев.

Гораздо более удобной концепцией целых чисел является построение групп Гротендика. Главная идея заключается в том, что каждое целое число может быть представлено (не одним способом) как разность двух натуральных чисел, поэтому мы можем определить целое число, как разность двух натуральных чисел. Тогда сложение определяется следующим образом:

• Пусть имеются два целых числа a − b и c − d, где a, b, c и d — натуральные числа, тогда (a − b) + (c − d) = (a + c) − (b + d)^[53].

Рациональные числа

Сумма рациональных чисел может быть вычислена с использованием наименьшего общего знаменателя^[en], но вообще определение сложения рациональных чисел включает в себя только сложение и умножение целых чисел:

• Положим ${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}$

Например, ${\displaystyle {\frac {3}{4}}+{\frac {1}{8}}={\frac {3\times 8+4\times 1}{4\times 8}}={\frac {24+4}{32}}={\frac {28}{32}}={\frac {7}{8}}}$ .

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями гораздо проще; в этом случае можно просто сложить числители, оставив знаменатель без изменения: ${\displaystyle {\frac {a}{c}}+{\frac {b}{c}}={\frac {a+b}{c}}}$ , например ${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {2}{4}}={\frac {1+2}{4}}={\frac {3}{4}}}$ ^[54].

Коммутативность и ассоциативность сложения рациональных чисел является следствием законов целочисленной арифметики^[55]. Более строгое и общее определение см. в статье поле дробей.

Вещественные числа

Общим способом построения множества вещественных чисел является пополнение методом дедекинда множества рациональных чисел. Вещественные числа определяются как дедекиндово сечение рациональных чисел: непустое множество рациональных чисел, ограниченное снизу, и не имеющее наибольшего элемента^[en]. Сумма вещественных чисел a и b определяется поэлементно:

• ${\displaystyle a+b=\{q+r\mid q\in a,r\in b\}}$ ^[56].

Это определение было впервые опубликовано в немного изменённом виде Рихардом Дедекиндом в 1872 году^[57]. Свойства коммутативности и ассоциативности сложения вещественных чисел близки;^{[источник не указан 881 день]} определяя вещественное число 0 как часть множества отрицательных рациональных чисел, легко представить его, как аддитивную единицу. Наверное, самой сложной частью этой конструкции, относящейся к сложению, является определение обратного слагаемого^[58].

К сожалению, умножение дедекиндовых сечений — времязатратный процесс, аналогичный сложению целых чисел со знаками^[59]. Другой подход заключается в метрическом пополнении действительных чисел. Действительные числа — это, по сути, предел последовательности Коши рациональных чисел, Lim a_n. Сложение осуществляется почленно:

• Определим: ${\displaystyle \lim _{n}a_{n}+\lim _{n}b_{n}=\lim _{n}(a_{n}+b_{n})}$ ^[60].

Это определение было впервые опубликовано Георгом Кантором в 1872 году, хотя его формализм был несколько другим^[61]. Надо доказать, что эта операция строго определена последовательностью Коши (является фундаментальной последовательностью). Как только эта задача будет выполнена, все свойства сложения действительных чисел будут следовать непосредственно из свойств действительных чисел. Кроме того, другие арифметические операции, включая умножение, имеют простые, аналогичные определения^[62].

Комплексные числа

Комплексные числа складываются друг с другом путём сложения действительных и мнимых частей^[63][64]. Это значит, что:

${\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.\ }$

Используя представление комплексных чисел как точек на комплексной плоскости, можно дать сложению комплексных чисел следующую геометрическую интерпретацию: суммой комплексных чисел A и B, представленных точками на комплексной плоскости, является точка X, полученная путём построения параллелограмма, три вершины которого находятся в точках O, A и B. Или, можно сказать, что X — это такая точка, что треугольники OAB и XBA конгруэнтны.

Сложение в абстрактной алгебре

Сложение в теории множеств и теории категорий

Обобщением сложения натуральных чисел является сложение порядковых чисел и кардинальных чисел в теории множеств. Эти операции представляют собой два разных обобщения сложения натуральных чисел на трансфинитный случай. В отличие от большинства типов операции сложения, сложение порядковых чисел не коммутативно. Сложение кардинальных чисел, тем не менее, является коммутативной операцией, тесно связанной с операцией дизъюнктного объединения.

В теории категорий дизъюнктное объединение рассматривается как частный случай операции копроизведения, и общие копроизведения, возможно, являются самыми абстрактными из всех обобщений операции сложения. Некоторые копроизведения, такие как прямая сумма и клиновая сумма^[en], названы так, чтобы указывать на их связь с операцией сложения.

Арифметика

Вычитание можно рассматривать как частный случай операции сложения, а именно — как прибавление противоположного числа. Вычитание само по себе является своего рода обратной операцией к сложению, то есть прибавление x и вычитание x являются взаимно обратными функциями.

На множестве чисел, на котором определена операция сложения, не всегда можно определить операцию вычитания; простым примером является множество натуральных чисел. С другой стороны, операция вычитания однозначно определяет операцию сложения и аддитивную единицу; по этой причине аддитивную группу можно определять как множество, замкнутое относительно операции вычитания^[67].

Умножение можно понимать как повторённое несколько раз сложение^[en]. Если терм x входит в сумму n раз, то эта сумма равна произведению n и x. Если n не является натуральным числом, произведение всё ещё может иметь смысл; например, умножение на -1 даёт противоположное число.

Cложение и умножение действительных или комплексных чисел можно взаимно заменять при помощи экспоненциальной функции:

e^{a + b} = e^a e^b[68].

Это тождество позволяет умножать, используя таблицы^[en] логарифмов и сложение вручную; оно также позволяет умножать с использованием логарифмической линейки. Эта формула является также хорошим приближением первого порядка в широком контексте групп Ли, где она связывает умножение бесконечно малых элементов группы Ли со сложением векторов в соответствующей алгебре Ли^[69].

У умножения есть даже больше обобщений, чем у сложения^[70]. Вообще говоря, операции умножения всегда дистрибутивны относительно сложения. Это требование закреплено в определении кольца. В некоторых случаях, таких как целые числа, дистрибутивности умножения относительно сложения и наличия мультипликативной единицы достаточно, чтобы однозначно определить операцию умножения. Свойство дистрибутивности также характеризует сложение; раскрывая скобки в произведении (1 + 1)(a + b) двумя способами, приходим к выводу, что сложение должно быть коммутативным. По этой причине сложение в кольце всегда коммутативно^[71].

Деление — это арифметическая операция, отдалённо связанная со сложением. Поскольку a/b = a(b⁻¹), деление является дистрибутивным справа относительно сложения: (a + b) / c = a / c + b / c^[72]. Тем не менее, деление не является дистрибутивным слева относительно сложения; 1/ (2 + 2) не равняется 1/2 + 1/2.

Упорядочивание

Операция нахождения максимума «max (a, b)» — это бинарная операция, похожая на сложение. На самом деле, если два неотрицательных числа a и b имеют различные порядки, то их сумма примерно равна их максимуму. Это приближение является чрезвычайно полезным в приложениях математики, например, при усечении ряда Тейлора. Тем не менее, эта операция приводит к постоянным трудностям в численном анализе, так как операция взятия максимума не является обратимой. Если b намного больше, чем a, то обычное вычисление (a + b) − b может привести к накоплению неприемлемой ошибки округления^[en], возможно получение нулевого результата. См. также потеря значимости^[en].

Это приближение становится точным при переходе к бесконечному пределу^{[уточнить]}; если какое-либо из чисел a и b является кардинальным числом, то их кардинальная сумма в точности равна большему из двух^[74]. Соответственно, операция вычитания не определена для множеств бесконечной мощности^[75].

Нахождение максимума является коммутативной и ассоциативной операцией, как и сложение. Более того, поскольку сложение сохраняет упорядочение действительных чисел, сложение дистрибутивно по отношению к функции нахождения максимума таким же образом, как и умножение по отношению к сложению:

a + max (b, c) = max (a + b, a + c).

По этим причинам в тропической геометрии умножение заменяется на сложение, а сложение — на нахождение максимума. В этом контексте сложение называют «тропическим умножением», нахождение максимума — «тропическим сложением», а тропическую «аддитивную единицу» — отрицательной бесконечностью^[76]. Некоторые авторы предпочитают заменять сложение минимизацией; в этом случае аддитивной единицей является положительная бесконечность^[77].

Объединяя эти наблюдения вместе, тропическое сложение приблизительно соответствует обычному сложению при помощи логарифма:

log (a + b) ≈ max (log a, log b),

что становится более точным при возрастании основания логарифма^[78]. Приближение может стать точным, если выделить константу h, названную по аналогии с постоянной Планка в квантовой механике^[79], и взять "классический предел"^[en], при котором h стремится к нулю:

${\displaystyle \max(a,b)=\lim _{h\to 0}h\log(e^{a/h}+e^{b/h}).}$

В этом смысле операция нахождения максимума является деквантизацией сложения^[80].

Другие способы сложения

Инкременирование, или применение функции следования — это прибавление 1 к числу.

Суммирование — это сложение сколь угодно большого количества чисел, обычно больше, чем двух. Частными случаями этого понятия являются суммирование одного числа (результат такого суммирования равен самому числу), а также пустая сумма^[en], равная нулю^[81]. Бесконечное суммирование — нетривиальная процедура, известная как нахождение суммы ряда^[82].

Суммирование единичной функции по конечному множеству даёт тот же результат, что и подсчёт числа элементов этого множества.

Интегрирование — это своего рода «суммирование» по континууму или, более точно и общо, по гладкому многообразию. Интегрирование по множеству нулевой размерности сводится к суммированию.

Линейные комбинации совмещают умножение и суммирование; это суммы, в которых каждый член имеет множитель, обычно действительное или комплексное число. Линейные комбинации особенно полезны в тех ситуациях, когда обычное сложение нарушило бы некоторое правило нормализации, как, например, при смешивании стратегий в теории игр или суперпозиции состояний в квантовой механике.

Свёртка используется для сложения двух независимых случайных величин, заданных функциями распределения. В стандартном определении свёртки используются интегрирование, вычитание и умножение. В целом, свёртку уместно рассматривать как «сложение на области определения», а векторное сложение — как «сложение на области значений».