WikiSort.ru - Не сортированное

Натуральные числа

Воспользуемся определением натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ как классов эквивалентности конечных множеств. Обозначим классы эквивалентности конечных множеств ${\displaystyle C,A,B}$ порождённых биекциями, с помощью скобок: ${\displaystyle [C],[A],[B]}$ . Тогда арифметическая операция «умножение» определяется следующим образом:

${\displaystyle [C]=[A]\cdot [B]=[A\times B];}$

где: ${\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,b\in B\}}$ прямое произведение множеств — множество  ${\displaystyle C}$ , элементами которого являются упорядоченные пары  ${\displaystyle (a,b)}$ для всевозможных  ${\displaystyle a\in A,b\in B}$ . Данная операция на классах введена корректно, то есть не зависит от выбора элементов классов, и совпадает с индуктивным определением.

Взаимно однозначное отображение конечного множества ${\displaystyle A}$ на отрезок ${\displaystyle N_{a}}$ можно понимать как нумерацию элементов множества ${\displaystyle A:\quad A\sim N_{a}}$ . Этот процесс нумерации называют «СЧЕТОМ». Таким образом, «счет» — это установление взаимно однозначного соответствия между элементами множества и отрезком натурального ряда чисел.

Для умножения натуральных чисел в позиционной системе обозначения чисел применяется поразрядный алгоритм умножения. Если даны два натуральных числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$  такие, что:

${\displaystyle a=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0},\quad b=b_{n-1}b_{n-2}\dots b_{0},\quad \forall a_{k},b_{k}\in \{P\},\quad \forall a_{n-1},b_{n-1}\neq 0,\quad \exists 0\in \mathbb {N} ;}$

где ${\displaystyle a_{0\dots n-1}=a_{k}P^{k},\quad b_{0\dots n-1}=b_{k}P^{k}}$ ;

${\displaystyle n}$ — количество цифр в числе ${\displaystyle n\in \{1,2,\dots ,n\}}$ ;

${\displaystyle k}$ — порядковый номером разряда (позиции), ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n-1\}}$ ;

${\displaystyle P}$ — основание системы счисления;

${\displaystyle \{P\}}$ множество числовых знаков (цифр), конкретной системы счисления:

${\displaystyle \{P_{2}\}=\{0,1\}}$ ,

${\displaystyle \{P_{10}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}$ ,

${\displaystyle \{P_{16}\}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,F\}}$ ; тогда:

${\displaystyle c=a\cdot b;\quad c_{n-1}c_{n-2}\dots c_{0}=a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{0}\cdot b_{n-1}b_{n-2}\dots b_{0};}$

умножая поразрядно, получаем ${\displaystyle n}$ промежуточных результатов:

• ${\displaystyle t_{n-1,~0}=mod(a_{n-1}\cdot b_{0}+r_{n-1},P),\quad r_{n}=div(a_{n-1}\cdot b_{0}+r_{n-1},P)~,~~t_{0}\cdot ~P^{k};}$
• ${\displaystyle t_{n-1,~1}=mod(a_{n-1}\cdot b_{1}+r_{n-1},P),\quad r_{n}=div(a_{n-1}\cdot b_{1}+r_{n-1},P)~,~~t_{1}\cdot ~P^{k};}$
• ${\displaystyle ...\qquad \qquad ...\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ...\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad ...}$
• ${\displaystyle t_{n-1,~k}=mod(a_{n-1}\cdot b_{k}+r_{n-1},P),\quad r_{n}=div(a_{n-1}\cdot b_{k}+r_{n-1},P)~,~~t_{k}\cdot ~P^{k};}$

где: ${\displaystyle r}$ — значение переноса, ${\displaystyle mod()}$ — функция нахождения остатка от деления, ${\displaystyle div()}$ — функция нахождения неполного частного.

Затем полученные ${\displaystyle n}$ промежуточных результатов складываем: ${\displaystyle c=t_{0}+t_{1}+...+t_{k}.}$

Таким образом операция умножения сводится к процедуре последовательного простого умножения одноразрядных чисел ${\displaystyle a_{k}\cdot b_{k}}$ , с формированием переноса при необходимости, которое производится либо табличным методом, либо последовательным сложением. И далее к сложению.

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно пользоваться таблицей умножения, соответствующей данному основанию ${\displaystyle P}$ системы счисления.

Пример умножения натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления, для удобства числа записываются друг под другом соответственно разрядам, перенос пишется сверху:

${\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccc}&&&&&&&&&\\&&&&1&1&0&1&1&0\\&&&*&&&1&1&0&1\\\hline &&&&1&1&0&1&1&0\\&&&0&0&0&0&0&0&{\color {Gray}0}\\&&1&1&0&1&1&0&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}0}\\+&1&1&0&1&1&0&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}0}\\\hline 1&0&1&0&1&1&1&1&1&0\end{array}};\quad \quad {\begin{array}{cccccccccc}&&&&_{2}&_{2}&_{3}&_{3}&\\&&&&_{1}&_{2}&_{2}&_{2}&\\&&&&8&4&5&6&7\\&&&*&&&5&4&1\\\hline &&&0&8&4&5&6&7\\&&3&3&8&2&6&8&{\color {Gray}0}\\+&4&2&2&8&3&5&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}0}\\\hline &4&5&7&5&0&7&4&7\end{array}};\quad \quad {\begin{array}{ccccccccc}&&&&_{8}&_{8}&_{2}\\&&&&_{D}&_{D}&_{3}\\&&&&6&D&E&4\\&&&{*}&&A&1&F\\\hline &&&6&7&0&5&C\\&&0&6&D&E&4&{\color {Gray}0}\\+&4&4&A&E&8&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}0}\\\hline &4&5&8&3&6&9&C\end{array}}~~.}$

Целые числа

Множество целых чисел — расширение множества натуральных чисел ${\displaystyle \mathbb {N} }$ , получаемое добавлением отрицательных чисел ^[4] вида ${\displaystyle -n}$ . Множество целых чисел обозначается ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ Арифметические операции над целыми числами определяются как непрерывное продолжение соответствующих операций над натуральными числами.

Отличие от натуральных чисел состоит в том, что отрицательные числа на числовой прямой направлены в противоположную сторону, это несколько меняет процедуру умножения. Необходимо учитывать взаимное направление чисел, здесь возможны несколько случаев:

• Если оба аргумента положительные, тогда: ${\displaystyle c=a\cdot b;}$
• Если один из аргументов отрицателен, тогда: ${\displaystyle c=-a\cdot b=-(a\cdot b),}$ либо ${\displaystyle c=a\cdot (-b)=-(a\cdot b);}$
• Если оба аргумента отрицательны, тогда: ${\displaystyle c=(-a)\cdot (-b)=a\cdot b.}$

Здесь и далее также используется алгоритм поразрядного умножения. Например, рассмотрим выражение: ${\displaystyle -6\cdot 4=-24}$ ; так как у чисел ${\displaystyle -6}$ и ${\displaystyle 4}$ разные знаки, то выносим минус за скобки: ${\displaystyle -6\cdot 4=-(6\cdot 4)}$ , вычисляя далее получим ответ: ${\displaystyle -24}$ .

Рациональные числа

Множество рациональных чисел обозначается ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ (от англ. quotient «частное») и может быть записано в таком виде:

${\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}\mid m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \right\}.}$

Для умножения рациональных чисел в виде обыкновенных (или простых) дробей вида: ${\displaystyle \pm {\frac {m}{n}}}$ , следует числители и знаменатели дробей умножить друг на друга.

Если даны два рациональных числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ такие, что: ${\displaystyle a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}\quad \forall m_{a},n_{a},m_{b},n_{b}\in \mathbb {N} \quad \forall {n_{a}},{n_{b}}\neq 0}$ (дроби не сокращаемые), тогда^[5]:

${\displaystyle c=a\cdot b={\frac {m_{a}}{n_{a}}}\cdot {\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot m_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}.}$

Пример умножения:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{5}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 5}}={\frac {2}{15}};\quad {\frac {3}{7}}\cdot {\frac {4}{6}}={\frac {3\cdot 4}{7\cdot 6}}={\frac {12}{42}}={\frac {6}{21}}.}$

Арифметическая операция «умножение» над рациональными числами относится к замкнутым операциям.

Вещественные числа

Арифметические операции над вещественными числами представимых бесконечными десятичными дробями определяются как непрерывное продолжение^[6] соответствующих операций над рациональными числами.

Если даны два вещественных числа, представимые бесконечными десятичными дробями:

${\displaystyle \alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},}$

${\displaystyle \beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},}$

определённые соответственно фундаментальными последовательностями рациональных чисел (удовлетворяющие условию Коши), обозначенные как: ${\displaystyle \alpha =[a_{n}]}$ и ${\displaystyle \beta =[b_{n}]}$ , то их произведением называют число ${\displaystyle \gamma =[c_{n}]}$ , определённое произведением последовательностей ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ и ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ :

${\displaystyle \gamma =\alpha \cdot \beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]\cdot [b_{n}]=[a_{n}\times b_{n}];}$

вещественное число ${\displaystyle \gamma =\alpha \cdot \beta }$ , удовлетворяет следующему условию:

${\displaystyle \forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'\cdot b'\leqslant \alpha \times \beta \leqslant a''\cdot b'')\Rightarrow (a'\cdot b'\leqslant \gamma \leqslant a''\cdot b'').}$

Таким образом произведением двух вещественных чисел  ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$  является такое вещественное число ${\displaystyle \gamma }$  которое содержится между всеми произведениями вида ${\displaystyle a'\cdot b'}$  с одной стороны и всеми произведениями вида ${\displaystyle a''\cdot b''}$  с другой стороны^[7].

На практике для того, чтобы умножить два числа ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ , необходимо заменить их с требуемой точностью приближёнными рациональными числами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ . За приближенное значение произведения чисел ${\displaystyle \alpha \cdot \beta }$ берут произведение указанных рациональных чисел ${\displaystyle a\cdot b}$ . При этом не важно, с какой стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные числа приближают ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ . Умножение производится по алгоритму поразрядного умножения.

Абсолютная погрешность произведения приближённых чисел: ${\displaystyle \Delta (a\cdot b)=|b|\cdot \Delta a+|a|\cdot \Delta b+\Delta a\cdot \Delta b\approx |b|\cdot \Delta a+|a|\cdot \Delta b}$ , абсолютная погрешность числа принимается равной половине последнего знака этого числа. Относительная погрешность произведения равна сумме относительных погрешностей аргументов: ${\displaystyle \delta (a\cdot b)=\delta a+\delta b}$ . Полученный результат округляют до первой верной значащей цифры, значащая цифра приближенного числа является верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример умножения ${\displaystyle \gamma =\pi \cdot e}$ , с точностью до 3-го знака после запятой:

• Округляем данные числа до 4-го знака после запятой (для повышения точности вычислений);
• Получаем: ${\displaystyle \pi \approx 3.1416,\ e\approx 2.7183}$ ;
• Поразрядно умножаем: ${\displaystyle \gamma =\pi \cdot e\approx 3.1416\cdot 2.7183\approx 8.5398}$ ;
• Округляем до 3-го знака после запятой: ${\displaystyle \gamma \approx 8.540}$ .

График

На множестве пар вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ график функции умножения является проходящим через начало координат гиперболическим параболоидом.

Комплексные числа

Множество комплексных чисел с арифметическими операциями является полем и обычно обозначается символом ${\displaystyle \mathbb {C} }$ .

Произведением двух комплексных чисел в алгебраической форме записи, называется комплексное число, равное:

${\displaystyle c+fi=(a+di)\cdot (b+ei)=(a\cdot b-d\cdot e)+(a\cdot e+b\cdot d)i,}$

где: ${\displaystyle c,a,b,d,e,f\in \mathbb {R} }$ , ${\displaystyle i}$ — мнимая единица.

Для того, чтобы перемножить два комплексных числа в тригонометрической форме записи, нужно перемножить их модули, а аргументы сложить:

${\displaystyle c=a\cdot b=r_{1}(Cos\varphi _{1}+iSin\varphi _{1})~\cdot ~r_{2}(Cos\varphi _{2}+iSin\varphi _{2})=r_{1}\cdot r_{2}(Cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+iSin(\varphi _{1}+\varphi _{2})),}$

где: ${\displaystyle r=|z|=|a+ib|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}};~~~\varphi =Arg(z)=arctg{\biggl (}{\frac {b}{a}}{\biggr )},}$ модуль и аргумент комплексного числа.

Умножение комплексного числа ${\displaystyle a=r_{1}e^{i\varphi _{1}}}$ в показательной форме, на комплексное число ${\displaystyle b=r_{2}e^{i\varphi _{2}}}$ сводится к повороту вектора, соответствующего числу ${\displaystyle a}$ , на угол  ${\displaystyle Arg(b)}$ и изменению его длины в ${\displaystyle |b|}$ раз. Для произведения комплексных чисел в показательной форме верно равенство:

${\displaystyle c=re^{i\varphi }=a\cdot b=r_{1}e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\varphi _{2}}=r_{1}\cdot r_{2}\cdot e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})},}$

где: ${\displaystyle e=2,718281828...}$ — число e.

Экспоненциальная запись

В экспоненциальной записи числа записываются в виде ${\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n}}$ , где ${\displaystyle x}$  — мантисса, ${\displaystyle P^{n}}$  — характеристика числа, ${\displaystyle P}$ — основание системы счисления, ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ . Для умножения двух чисел, которые записаны в экспоненциальной форме необходимо умножить мантиссы и характеристики: ${\displaystyle (a\cdot P^{n})\cdot (b\cdot P^{k})=(a\cdot b)\cdot P^{n}\cdot P^{k}=ab\cdot P^{n+k}.}$

Например:

${\displaystyle 2,34\cdot 10^{-5}\cdot ~5,67\cdot 10^{6}=2,34\cdot ~5,67\cdot 10^{-5}\cdot 10^{6}\approx 13,27\cdot 10^{(-5+6)}\approx 13,27\cdot 10^{1}\approx 1,33\cdot 10^{2}.}$

Умножение произвольных чисел

При умножение чисел принадлежащих разным множествам необходимо учитывать, что множитель и множимое не вполне равноправны: например ${\displaystyle 1,5(\in \mathbb {Q} )\cdot 5(\in \mathbb {N} )=7,5(\in \mathbb {Q} )}$  — рациональное берётся пять раз, всё нормально. В данном случае необходимо произвести преобразование типа числа (если существует такая возможность в конкретной задаче). Для этого число из множества с меньшей мощностью расширяется в сторону числа из множества с большей мощностью. То есть воспользовавшись тем, что натуральные числа являются подмножеством рациональных, расширяем натуральное число ${\displaystyle 5}$ до рационального числа ${\displaystyle 5,0}$ и умножаем два рациональных числа: ${\displaystyle 5,0(\in \mathbb {Q} )\cdot 1,5(\in \mathbb {Q} )=7,5(\in \mathbb {Q} )}$ . Аналогично, пользуясь тем, что: ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} }$ можно умножать числа из различных множеств между собой.