Подкольцо кольца
— это пара
, где
— кольцо, а
— мономорфизм (вложение) колец. Такое определение согласуется с общим понятием подобъекта в теории категорий.
В классическом определении подкольцо кольца
рассматривается как подмножество
, замкнутое относительно операций
и
из основного кольца. Это определение равносильно данному выше, однако в современном определении подчёркивается внутренняя структура подколец и связь между различными кольцами. Оно также легко обобщается на случай произвольных математических объектов (алгебраических, геометрических и т. п.). Разница между определениями аналогична разнице между теоретико-множественным и теоретико-категорным взглядом на математику.
В частности, различные определения кольца дают два основных содержательных понятия подкольца. В категории (всех) колец
подкольцо, как в классическом определении, можно рассматривать как произвольное подмножество кольца, замкнутое по сложению и умножению. Более интересная ситуация в категории колец с единицей
: морфизмы (гомоморфизмы)
в этой категории должны отображать единицу кольца
в единицу кольца
(аналогично гомоморфизму полугрупп с единицей), поэтому подкольцо
кольца
также обязано содержать единицу:
.
Категория
устроена гораздо лучше, чем
. Например, ядро любого гомоморфизма также является объектом этой категории. Из-за этого говоря о подкольце обычно подразумевают подкольцо в
, если не оговорено обратное.
- Примеры
- Любой идеал (левый, правый, двусторонний) замкнут относительно сложения и умножения, поэтому является подкольцом в
.
- В
идеал является подкольцом только тогда, когда содержит
, поэтому он обязан совпадать со всем кольцом. Поэтому в
собственные идеалы не являются подкольцами.
- В
подкольцами в
являются всевозможные главные идеалы
. В
не имеет собственных подколец.
- Кольцо целых чисел
является подкольцом поля вещественных чисел
и подкольцом кольца многочленов
.
Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.
- М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .