WikiSort.ru - Не сортированное

Трансценде́нтное число́ (от лат. transcendere — переходить, превосходить) — это вещественное или комплексное число, не являющееся алгебраическим — иными словами, число, которое не может быть корнем многочлена с целочисленными коэффициентами (не равного тождественно нулю)^[1]. Можно также заменить в определении многочлены с целочисленными коэффициентами на многочлены с рациональными коэффициентами, поскольку корни у них одни и те же.

Свойства

Все комплексные числа делятся на два непересекающихся класса — алгебраические и трансцендентные. С точки зрения теории множеств, трансцендентных чисел гораздо больше, чем алгебраических: множество трансцендентных чисел континуально, а множество алгебраических счётно.

Каждое трансцендентное вещественное число является иррациональным, но обратное неверно. Например, число ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ — иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем уравнения ${\displaystyle x^{2}-2=0}$ (и потому является алгебраическим).

В отличие от множества алгебраических чисел, которое является полем, трансцендентные числа не образуют никакой алгебраической структуры относительно арифметических операций — результат сложения, вычитания, умножения и деления трансцендентных чисел может быть как трансцендентным, так и алгебраическим числом. Однако некоторые ограниченные способы получить трансцендентное число из другого трансцендентного существуют.

1. Если ${\displaystyle t}$ — трансцендентное число, то ${\displaystyle -t}$ и ${\displaystyle 1/t}$ также трансцендентны.
2. Если ${\displaystyle a}$ — ненулевое алгебраическое число, а ${\displaystyle t}$ — трансцендентное число, то ${\displaystyle a\pm t,\ at,\ a/t,\ t/a}$ трансцендентны.
3. Если ${\displaystyle t}$ — трансцендентное число, а ${\displaystyle n}$ — натуральное число, то ${\displaystyle t^{\pm n}}$ и ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}}$ трансцендентны.

Мера иррациональности почти всякого (в смысле меры Лебега) трансцендентного числа равна 2.

Примеры трансцендентных чисел

• Число ${\displaystyle \pi }$ .
• Число ${\displaystyle e}$ .
• Десятичный логарифм любого натурального числа^[2], кроме чисел вида ${\displaystyle 10^{\pm n}}$ .
• ${\displaystyle \sin a,\cos a}$ и ${\displaystyle \mathrm {tg} \,a}$ , для любого ненулевого алгебраического числа ${\displaystyle a}$ (по теореме Линдемана — Вейерштрасса).

История

Впервые понятие трансцендентного числа ввёл Ж. Лиувилль в 1844 году, когда доказал теорему о том, что алгебраическое число невозможно слишком хорошо приблизить рациональной дробью.

В 1873 году Ш. Эрмит доказал трансцендентность числа e, основания натуральных логарифмов.

В 1882 году Линдеман доказал теорему о трансцендентности степени числа e с ненулевым алгебраическим показателем, тем самым доказав трансцендентность числа ${\displaystyle \pi }$ и неразрешимость задачи квадратуры круга.

В 1900 году на II Международном конгрессе математиков Гильберт в числе сформулированных им проблем сформулировал седьмую проблему: «Если ${\displaystyle a\neq 0,1}$ , ${\displaystyle a}$  — алгебраическое число, и ${\displaystyle b}$  — алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что ${\displaystyle a^{b}}$  — трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ . Эта проблема была решена в 1934 году Гельфондом, который доказал, что все такие числа действительно являются трансцендентными.

Вариации и обобщения

В теории Галуа рассматривается более общее определение: элемент расширения поля P трансцендентный, если он не является корнем многочлена над P.

Существует аналог теории трансцендентных чисел для многочленов с целочисленными коэффициентами, определённых на поле p-адических чисел^[1].

Некоторые открытые проблемы

• Неизвестно, является ли число ${\displaystyle \ln \pi }$ рациональным или иррациональным, алгебраическим или трансцендентным^[3].

• Неизвестна мера иррациональности для чисел ${\displaystyle \ln 2,\ln 3}$ ^[4].

См. также

• Кольцо периодов
• Степень трансцендентности

Примечания

Литература

• Спринджук В. Г. Трансцендентное число // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1985. — Т. 5. — С. 426—427. — 623 с. — 150 000 экз.
• Фельдман Н. Алгебраические и трансцендентные числа // Квант. — 1983. — № 7. — С. 2—7.