WikiSort.ru - Не сортированное

Формы

Форма сюрреального числа - это пара множеств сюрреальных чисел, называемых его левым и правым множествами. Форма с левым множеством L и правым множеством R записывается { L }. Когда L и R заданы как списки элементов, скобки вокруг них опущены. Любой или оба из множеств формы могут быть пустым. Форма {{} | {}} с левым и правым пустыми множествами записывается { }.

Числовые формы

Правило конструирования

Форма { L | R } является числовой если пересечение множеств L и R является пустым множеством и любой элемент R больше любого элемента L, согласно с отношением порядка ≤ заданным правилом ниже.

Классы эквивалентности числовых форм

Числовые формы располагаются в классах эквивалентности; каждый клас эквивалентности является сюрреальным числом. Элементы левого и правого множеств формы взяты из вселенной сюрреальных чисел (не форм, а классов эквивалентности).

Правило эквивалентности

Две числовые формы x и y являются формами одного и того же числа (находятся в одном классе эквивалентности) тогда и только тогда, когда x ≤ y и y ≤ x.

Отношение порядка должно быть антисимметричным, т.е. выражение x = y (т.е. x ≤ y и y ≤ x оба верны) должно быть верным только когда x и y являются одним и тем же объектом. Это не касается форм сюрреальных чисел, но это истинно для конструкций сюрреальных чисел (классов эквивалентности).

Класс эквивалентности включающий { } называется 0; также { } это форма сюрреального числа 0.

Порядок

Рекурсивное определение порядка для сюрреальных чисел задается следующим образом:

Даны числовые формы x = { X_L | X_R } и y = { Y_L | Y_R }, x ≤ y тогда и только тогда, когда:

• не существует x_L ∈ X_L такого, чтобы y ≤ x_L (каждый в левом множестве x меньше, чем y), и
• не существует y_R ∈ Y_R такого, чтобы y_R ≤ x (каждый элемент в правом множестве y больше, чем x).

Сравнение y ≤ c для формы y и сюрреального числа c определяется выбором формы z из класса эквивалентности c и проверки y ≤ z; аналогично для c ≤ x и для сравнения b ≤ c двух сюрреальных чисел.

Индукция

Эта группа определений рекурсивная и требует некоторой математической индукции для определения вселенной объектов (форм и чисел), которые встречаются в них. Единственными сюрреальными числами, достигаемыми через «конечную индукцию», являются диадические рациональности. Более широкая вселенная достижима при некоторой форме трансфинитной индукции.

Индукционное правило

• Существует S₀ = {0}, в которой 0 - класс эквивалентности, состоящий из единственной формы {| }.
• При любом порядковом числе n, S _n это множество всех сюрреальных чисел, которые можно получить, применяя правило конструирования ко всем подмножествам ${\displaystyle \cup _{i<n}}$  ${\displaystyle S_{i}}$ .

Базовый случай на самом деле является частным случаем правила индукции, причем 0 является меткой «наименьшего порядкового числа». Поскольку не существует S_i с i < 0, выражение ${\displaystyle \cup _{i<0}S_{i}}$ является пустым множеством; единственным подмножеством пустого множества является пустое множество, и поэтому S₀ состоит из единственной сюрреальной формы {| } из класса эквивалентности 0.

Для каждого конечного порядкового числа n, ${\displaystyle S_{n}}$ вполне упорядочено для правила сравнения сюрреальных чисел.

Первая итерация правила индукции дает три числовые формы {| 0} < {| } < {0 | } (Форма {0 | 0} не является числовой, потому что 0≤0). Класс эквивалентности, содержащий {0 | } Обозначается 1, а класс эквивалентности, содержащий {| 0} обозначается -1. Эти три метки имеют особое значение в аксиомах, которые определяют кольцо; они являются аддитивным тождеством (0), мультипликативным тождеством (1) и аддитивной инверсией от 1 (-1). Арифметические операции, определенные ниже, согласуются с этими метками.

Для каждого i < n, все числа, содержащиеся в ${\displaystyle S_{i}}$ также содержатся в ${\displaystyle S_{n}}$ (в виде надмножеств их представления в ${\displaystyle S_{i}}$ )(Условное выражение объединения появляется в нашем правиле построения ранее, чем более простая формf ${\displaystyle S_{n-1}}$ , так что определение также имеет смысл, когда n является предельным ординалом).Числа в ${\displaystyle S_{n}}$ , которые являются надмножеством некоторого числа в ${\displaystyle S_{i}}$ , как говорят, были "унаследованы из поколения i". Наименьшее значение α, для которого данное сюрреальное число появляется в ${\displaystyle S_{\alpha }}$ , называется его «днем рождения». Например, день рождения 0 равен 0, а день рождения -1 равен 1.

Вторая итерация правила построения дает следующий порядок классов эквивалентности:

{ | −1 } = { | −1, 0 } = { | −1, 1 } = { | −1, 0, 1 }

< { | 0 } = { | 0, 1 }

< { −1 | 0 } = { −1 | 0, 1 }

< { | } = { −1 | } = { | 1 } = { −1 | 1 }

< { 0 | 1 } = { −1, 0 | 1 }

< { 0 | } = { −1, 0 | }

< { 1 | } = { 0, 1 | } = { −1, 1 | } = { −1, 0, 1 | }

Сравнение этих классов эквивалентности согласуется, независимо от выбора формы. Можно заметить, что:

1. В ${\displaystyle S_{2}}$ появляется четыре новых сюрреальных числа. Два из них содержат "экстремальные" формы: {| -1, 0, 1} включает в себя все числа из предыдущих поколений в своем правом наборе, а {-1, 0, 1 | } - в левом множестве. Другие имеют форму, которая разбивает все числа из предыдущих поколений на два непустых множества.
2. Каждый сюрреальный номер x , существовавший в предыдущем «поколении», существует также в этом поколении и включает в себя по крайней мере одну новую форму: разделение всех чисел, отличных от x от предыдущих поколений в левое множество (все числа меньше x ) и в правое множество (все числа больше, чем x ).
3. Класс эквивалентности числа зависит только от максимального элемента его левого множества и минимального элемента правого множества.

Неофициальные интерпретации {1 | } и { | -1} - «число сразу после 1» и «число перед -1» соответственно; Их классы эквивалентности обозначены 2 и -2. Неофициальные интерпретации {0 | 1} и {-1 | 0} это «число на полпути между 0 и 1» и «число на полпути между -1 и 0» соответственно; Их классы эквивалентности помечены ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ и ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$ . Эти метки также будут использоваться для определения сюрреального сложения и умножения ниже. 

Классы эквивалентности на каждой стадии индукции n могут характеризоваться их n-полными формами (каждая из которых содержит как можно больше элементов предыдущих поколений в ее левом и правом наборах). Либо эта полная форма содержит каждое число из предыдущих поколений в своих левом или правом наборах, и в этом случае это первое поколение, в котором это число встречается,  либо она содержит все числа из предыдущих поколений, кроме одного, и в этом случае это новая форма этого самого числа. Мы сохраняем метки предыдущего поколения для этих «старых» чисел и записываем порядок выше, используя старые и новые метки:

-2 <-1 <-1/2 <0 <1/2 <1 <2.

Третье наблюдение распространяется на все сюрреальные числа с конечным левым и правым множествами. (Для бесконечных левых или правых множеств это справедливо в измененной форме, так как бесконечные множества могут не содержать максимальный или минимальный элемент.) Число {1, 2 | 5, 8}, следовательно, эквивалентно {2 | 5}; Можно установить, что они являются формами 3, используя свойство дня рождения, которое является следствием вышеприведенных правил.

Свойство дня рождения

Форма x = {L | R}, встречающееся в поколении n, представляет число, унаследованное от более раннего поколения, тогда и только тогда, когда в S_i i<n есть некоторое число, которое больше всех элементов L и меньше всех элементов R. (Другими словами, если L и R  разделены числом, созданным на более раннем этапе, то x не представляет собой новое число, а уже построено.) Если x представляет число из любого поколения раньше n, то существует наименьшее такое поколение i и хотя бы одно число y с днем рождения i, находящееся между L и R. x является формой этого числа y, иными словами лежит в классе эквивалентности в S_n, являющемся надмножестом представления y в поколении i.