Автоморфизм алгебраической системы — изоморфизм, отображающий алгебраическую систему на себя.
Совокупность всех автоморфизмов некоторой алгебраической системы с операцией композиции и тождественным отображением в качестве нейтрального элемента образует группу. Группа автоморфизмов алгебраической системы обозначается .
Наиболее простой пример автоморфизма — это автоморфизм множества, то есть перестановка элементов этого множества.
Понятие автоморфизма можно обобщить на более абстрактные объекты, не являющиеся «множествами с дополнительной структурой». Так, в теории категорий автоморфизм определяется как эндоморфизм, являющийся также изоморфизмом (в категорном смысле этого слова).
Примеры
Группы автоморфизмов решёток
В различных областях математики используются различные понятия решётки. В частности:
- В физике твёрдого тела и теории кристаллографических групп кристаллическая решётка — это обладающее трансляционной симметрией множество точек аффинного пространства. Автоморфизмы этого множества должны сохранять расстояние между точками, то есть быть движениями. Группа этих автоморфизмов — это кристаллографическая группа (либо сюръективно гомоморфно отображается в кристаллографическую группу)[1].
- В теории групп решётка — это группа, изоморфная , с билинейной формой на ней (в трёхмерном евклидовом пространстве соответствует решётке Браве из теории кристаллографических групп с выделенным началом координат). Автоморфизм такой решётки должен быть автоморфизмом группы. Группа таких автоморфизмов, в отличие от кристаллографической группы, конечна, если билинейная форма решётки соответствует евклидову пространству[2].
Внутренний автоморфизм
Любой элемент группы определяет следующий автоморфизм, который называют внутренним автоморфизмом: каждому элементу группы ставится в соответствие сопряжённый ему элемент :
- .
См. также
Примечания
- ↑ Pascal Auscher, T. Coulhon, Alexander Grigoryan. Heat Kernels and Analysis on Manifolds, Graphs, and Metric Spaces. — AMS, 2003. — P. 288. — ISBN 0-8218-3383-9.
- ↑ J. H. Conway and N. J. A. Sloane. Sphere Packings, Lattices and Groups. — 3rd ed. — Springer-Verlag New York, Inc., 1999. — P. 90. — ISBN 0-387-98585-9.
Литература
- Понтрягин, Лев Семёнович Непрерывные группы. — М.: УРСС, — 2004. — 520с. — ISBN 5-354-00957-X.
- Оре, Ойстин Теория графов. — М.: УРСС, — 2008. — 352 с. — ISBN 978-5-397-00044-4.
- Харари, Фрэнк Теория графов. — М.: УРСС, — 2003. — 300 с. — ISBN 5-354-00301-6.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .