WikiSort.ru - Не сортированное

Топологическое кольцо — кольцо, снабжённое естественной топологией.

Определения

Топологическое кольцо — кольцо с топологией, относительно которой сложение и умножение непрерывны.

В определении топологического поля дополнительно требуется, что взятие обратного ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ непрерывно во всех элементах кроме 0.

Примеры

Свойства

• Пополнение топологического кольца даёт полное топологическое кольцо.

• Группа единиц ${\displaystyle K^{\times }}$ топологического кольца ${\displaystyle K}$ образуют топологическую группу, с топологией индуцированной вложением в ${\displaystyle u\mapsto (u,u^{-1})}$ .
  • Однако если группа ${\displaystyle K^{\times }}$ снабжена топологией как подпространство в ${\displaystyle K}$ , то она может не быть топологической группой, поскольку в этой топологии отображение ${\displaystyle u\mapsto u^{-1}}$ не обязано быть непрерывным. Это происходит например в кольцах аделей^[en].

Ссылки

• Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. — М.: Наука, 1973. — 519 с.