WikiSort.ru - Не сортированное

Эта страница — глоссарий. См. также основную статью: Планиметрия

Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице).

N

• n-угольник  — многоугольник с n вершинами.

А

• Арбелос (по-греч. άρβυλος — сапожный нож) — плоская фигура, образованная большим полукругом, из которого вырезаны два малых полукруга, диаметры которых лежат на диаметре большого полукруга. При этом сумма диаметров двух малых полукругов равна диаметру большого полукруга.
• Аффи́нное преобразование — преобразование плоскости, переводящее прямые в прямые.
• Антипаралле́ль к стороне BC — отрезок B₁C₁, где точки B₁ и C₁ лежат на лучах AC и AB, при условии, что ∠AB₁C₁ = ∠ABC и ∠AC₁B₁ = ∠ACB.
• Асимпто́та кривой γ, имеющей бесконечную ветвь, — прямая, такая, что расстояние от точки γ кривой до этой прямой стремится к нулю при движении её вдоль ветви к бесконечности.

Б

• Барице́нтр системы точек A_i с массами m_i — точка Z такая что ${\displaystyle \sum _{i}m_{i}{\overrightarrow {ZA_{i}}}=0}$ .
• Барицентри́ческие координаты точки X относительно невырожденного треугольника ABC — тройка чисел ${\displaystyle (m_{1}:m_{2}:m_{3})}$ , такая что ${\displaystyle m_{1}+m_{2}+m_{3}\neq 0}$ и ${\displaystyle m_{1}{\overrightarrow {XA}}+m_{2}{\overrightarrow {XB}}+m_{3}{\overrightarrow {XC}}=0}$ , то есть если разместить в вершины треугольника массы, численно равные ${\displaystyle m_{1},m_{2},m_{3}}$ , то барицентр полученной системы точек совпадёт с точкой ${\displaystyle X}$ . Барицентрические координаты называют приведёнными, если ${\displaystyle m_{1}+m_{2}+m_{3}=1}$
• Биссектри́са треугольника, проведённая из вершины — отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне.
• Биссектри́са угла — луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол пополам.

В

• Вневпи́санная окружность треугольника — окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон.
• Внеописанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, продолжения всех четырёх сторон которого являются касательными к окружности (вне четырёхугольника). Окружность называется вневписанной. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении шести биссектрис.
• Внешний угол — см. многоугольник.
• Внутренний угол — см. многоугольник.
• Вписанная окружность треугольника — окружность, касающаяся трёх сторон треугольника.
• Вписанная и вневписанные в треугольник окружности - 4 окружности, каждая из которых касается трёх разных сторон треугольника или их продолжений.
• Впи́санный четырёхуго́льник. Выпуклый четырёхугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
• Высота треугольника. Высотой треугольника называют перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Иногда так называют длину этого перпендикуляра.

Г

• Геометрическое место точек (ГМТ) — множество точек плоскости, удовлетворяющее определённому условию. Например, срединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудалённых от его концов.
• Геронов треугольник - треугольник, стороны и площадь которого являются целыми числами
• Гипербола — алгебраическая кривая второго порядка.
• Глаз дракона (символ) - старинный символ Древней Германии, обнаруженный Рудольфом Кохом (Rudolf Koch). Глаз дракона похож по внешнему виду на изображение тетраэдра (треугольной пирамиды), если на него смотреть сверху со стороны одной вершины.
• Гомотетия (подобие) с центром O и коэффициентом ${\displaystyle k\not =0}$  — преобразование плоскости, переводящее точку P в точку P' , такую что ${\displaystyle {\overrightarrow {OP'}}=k\,{\overrightarrow {OP}}}$ .

Д

• Движение — см. изометрия.
• Диаметр Брокара — диаметр окружности Брокара.
• Директриса — прямая, лежащая в плоскости конического сечения (эллипса, гиперболы или параболы) и обладающая тем свойством, что отношение расстояния от любой точки кривой до фокуса кривой к расстоянию от той же точки до этой прямой есть величина постоянная, равная эксцентриситету.

Е

• Египетский треугольник - прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5.

З

• Замечательные точки треугольника - точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника. Например, замечательными точками треугольника являются точки пересечения:
  • Медиан — центроид, центр тяжести (масс);
  • Биссектрис — инцентр или центр вписанной окружности;
  • Антибиссектрис — центр антибиссектрис;
  • Биссектрис внешних углов — центры вневписанных окружностей;
  • Высот — ортоцентр;
  • Серединных перпендикуляров — центр описанной окружности;
  • Симедиан — точка Лемуана
  • и многие другие.

И

• Изоме́трия. Преобразование, сохраняющее расстояния.
• Изогональное сопряжение. Пусть на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причём прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке P. Тогда прямые AA₂, BB₂ и CC₂, симметричные этим прямым относительно соответствующих биссектрис, также пересекаются в одной точке Q. В этом случае точки P и Q называются изогонально сопряжёнными относительно треугольника ABC.
• Изогонический центр треугольника. Построим на сторонах треугольника ABC внешним (внутренним) образом правильные треугольники ABC₁, AB₁C и A₁BC. Тогда прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Эту точку называют первым (вторым) изогоническим центром. Первый изогонический центр называют также точкой Ферма.
• Изодинамический центр треугольника. Пусть AD и AE — биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника ABC и S_a — окружность с диаметром DE, окружности S_b и S_c определяются аналогично. Тогда эти три окружности имеют две общие точки M и N, которые называются изодинамическими центрами. Кроме того, прямая MN проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.
• Изотомическое сопряжение. Если вместо симметричной чевианы брать чевиану, основание которой удалено от середины стороны так же, как и основание исходной, то такие чевианы также пересекутся в одной точке. Получившееся преобразование называется изотомическим сопряжением.
• Изоциркулярное преобразование. Если в сегменты, отсекаемые сторонами треугольника от описанного круга, вписать окружности, касающиеся сторон в основаниях чевиан, проведённых через некоторую точку, а затем соединить точки касания этих окружностей с описанной окружностью с противоположными вершинами, то такие прямые пересекутся в одной точке. Преобразование плоскости, сопоставляющее исходной точке получившуюся, называется изоциркулярным преобразованием. Композиция изогонального и изотомического сопряжений является композицией изоциркулярного преобразования с самим собой. Эта композиция — проективное преобразование, которое стороны треугольника оставляет на месте, а ось внешних биссектрис переводит в бесконечно удалённую прямую.
• Инве́рсия — конформное преобразование, при котором окружности и прямые переходят в прямые и окружности (не обязательно соответственно).
• Инцентр — точка пересечения трёх биссектрис треугольника.

К

• Коллинеа́рные точки. Набор точек, находящихся на одной прямой.
• Конгруэ́нтные фигуры. Две фигуры называются конгруэнтными, если существует изометрия плоскости, которая переводит одну в другую.
• Конкуре́нтные прямые. Набор прямых, проходящих через одну точку, или попарно параллельных.
• Кривая постоянной ширины a есть замкнутая выпуклая кривая, длина проекции которой на любую прямую равна a.
• Круг есть ограниченная часть плоскости, ограниченная окружностью.
• Круговая плоскость. Евклидова плоскость, дополненная одной идеальной точкой (${\displaystyle \infty }$ ).

Л

• Лемма Архимеда. Если окружность вписана в сегмент окружности, стягиваемый хордой ${\displaystyle BC}$ , и касается дуги в точке ${\displaystyle A_{1}}$ , а хорды — в точке ${\displaystyle A_{2}}$ , то прямая ${\displaystyle A_{1}A_{2}}$ является биссектрисой угла ${\displaystyle BA_{1}C}$ .

Лемма Архимеда играет важную роль при построении изоциркулярного преобразования.

• Лемма Веррьера^[1]. Точки касания окружностей Веррьера (полувписанных окружностей) со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности (инцентр) (См. серый рис. снизу).

• Лемма о трезубце или теорема трилистника, или лемма Мансиона (жарг. лемма о куриной лапке) — теорема в геометрии треугольника. В наиболее общем случае теорема гласит, что, если биссектриса к стороне ${\displaystyle BC}$ пересекает описанную окружность в точке ${\displaystyle L}$ , то выполняется равенство: ${\displaystyle LB=LI=LC=LI_{a}}$ , где ${\displaystyle I}$  — инцентр, ${\displaystyle I_{a}}$  — центр вневписанной окружности, касающейся стороны ${\displaystyle BC}$ .

• Ломаная (ломаная линия) — геометрическая фигура, состоящая из отрезков, последовательно соединённых своими концами.
• Луч — «полупрямая», имеет начальную точку, но не имеет конечной точки.

М

• Медиа́на треугольника. Отрезок соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
• Многоуго́льник. Замкнутая ломаная на плоскости.

Н

• Накло́нная к прямой ${\displaystyle p}$ ― прямая, пересекающая прямую ${\displaystyle p}$ под углом, отличным от прямого.

О

• Окружности Джонсона — набор из трёх окружностей одинакового радиуса r, имеющих одну общую точку пересечения H внутри треугольника, одновременно проходящие через разные пары его вершин. То есть окружности Джонсона являются тремя окружностями, описанными около трёх разных треугольников Гамильтона внутри данного треугольника.
• Окру́жность с центром в точке О — геометрическое место точек, равноудалённых от точки О.
• Окру́жность Аполло́ния для данных точек A и B и коэффициента ${\displaystyle k\not =1}$  — геометрическое место точек, таких, что ${\displaystyle |AX|=k|BX|}$ .
• Окружность Брокара — описанная окружность треугольника Брокара. Её диаметром является отрезок, соединяющий центр описанной окружности данного треугольника и его точку Лемуана. Две точки Брокара также лежат на этой окружности, как и три вершины треугольника Брокара
• Окружность Веррьера (полувписанные). В треугольнике есть три окружности, которые касаются двух сторон треугольника и описанной окружности. Такие окружности называют полувписанными или окружностями Веррьера.
• Окружность девяти точек — то же, что и Окружность Эйлера
• Окружность кривизны или соприкаса́ющаяся окру́жность — окружность, являющаяся наилучшим приближением заданной кривой в окрестности данной точки.
• Окружность Лестера — окружность, на которой в любом разностороннем треугольнике лежат две точки Ферма, центр девяти точек и центр описанной окружности.
• Окружность Ламуна. Центры описанных окружностей шести треугольников, на которые треугольник разбивается медианами, лежат на одной окружности, которая называется окружностью Ламуна.
• Окружности Лемуана. Через точку Лемуана данного треугольника проведём прямые, параллельные сторонам этого треугольника. Окружность, проходящая через точки их пересечения со сторонами треугольника (в общем случае таких точек 6), называется первой окружностью Лемуана. Если же через точку Лемуана провести прямые, антипараллельные сторонам треугольника, то окружность, проходящая через точки их пересечения со сторонами треугольника называется второй окружностью Лемуана.
• Окружность Нойберга. Пусть вершины B и C треугольника фиксированы, а вершина A движется так, что угол Брокара ${\displaystyle \varphi }$ треугольника ABC остаётся постоянным. Тогда точка A движется по окружности радиуса ${\displaystyle {\frac {BC}{2}}{\sqrt {{\rm {ctg}}^{2}\varphi -3}}}$ , которая и называется окружностью Нойберга.
• Окружность Парри - окружность, проходящая через центроид и две точки Аполлония треугольника, а также через точку Парри.
• Окружность Тейлора треугольника ABC — окружность, которая проходит через шесть точек в виде шести проекций трёх оснований высот треугольника, пересекающих каждую сторону, на две оставшиеся стороны.
• Окружность Тукера треугольника ABC — окружность, которая проходит через точки пересечения сторон треугольника ABC с продолжениями сторон треугольника A₁B₁C₁, полученного из треугольника ABC при гомотетии с центром в точке Лемуана. Эти точки (в общем случае их шесть) всегда лежат на одной окружности. Центр окружности Тукера лежит между точкой Лемуана и центром описанной окружности.
• Окружность Форда (англ. Ford circle) — окружность с центром в точке с координатами ${\displaystyle (p/q,1/(2q^{2}))}$ и радиусом ${\displaystyle 1/(2q^{2})}$ , где ${\displaystyle p/q}$  — несократимая дробь.
• Окружность Фурмана — окружность для данного треугольника с диаметром, равным отрезку прямой, который расположен между ортоцентром и точкой Нагеля.
•  Окружности Вилларсо — пара окружностей, получаемых при сечении тора вращения «диагональной» касательной плоскостью, проходящей через центр тора (эта плоскость автоматически получается бикасательной).
• Окружности Схоуте. Опустим из точки M перпендикуляры MA₁, MB₁ и MC₁ на прямые BC, CA и AB. Для фиксированного треугольника ABC множество точек M, для которых угол Брокара треугольника A₁B₁C₁ имеет заданное значение, состоит из двух окружностей, причём одна из них расположена внутри описанной окружности треугольника ABC, а другая вне её. Данные окружности называются окружностями Схоуте треугольника ${\displaystyle ABC}$ .
• Окружность Эйлера или окружность девяти точек
• Ортотреугольник — треугольник, вершинами которого являются основания высот исходного (опорного) треугольника.
• Ортоцентр — точка пересечения трёх высот треугольника.
• Отре́зок — часть прямой между двумя точками, включая концы.
• Описанная окружность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Многоугольник, вокруг которого описана окружность, называется вписанным в эту окружность.

П

• Параллелогра́мм — четырёхугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
• Параллельный перенос — преобразование M'=f(M) такое, что все отрезки MM' равны и параллельны. Из этого вытекает, что x' = x + a1, y' = y + a2, где a1,a2 — произвольные константы. Параллельный перенос является изометрией и не имеет неподвижных точек.
• Педа́льный треугольник см. Подерный треугольник
• Площадь — некоторая аддитивная неотрицательная величина, сопоставляемая каждой элементарной фигуре.
• Поворот — изометрическое преобразование, являющееся результатом вращения всей плоскости вокруг точки на этой плоскости на заданный угол.
• Поде́рный треугольник точки Р относительно ∆ABC. Треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из точки Р на стороны треугольника ABC (или их продолжения).
• Подобие — преобразование, сохраняющее отношение расстояний.
• Поляра точки P относительно невырожденной кривой второго порядка — множество точек N, гармонически сопряжённых с точкой P относительно точек M₁ и M₂ пересечения кривой второго порядка секущими, проходящими через точку P.
• Полюс. Точку P, упомянутую выше, называют полюсом поляры.
• Правильный многоугольник многоугольник, у которого все стороны, а также все внутренние углы равны между собой. Поляра является прямой линией.

• Правильный треугольник — то же, что и равносторонний треугольник
• Преобразование плоскости — взаимнооднозначное отображение плоскости на себя. Часто однако преобразованием называют отображения, которые продолжаются до преобразований расширенной плоскости, например инверсия — преобразование круговой плоскости, перспектива — преобразование проективной плоскости, и т. д.
• Признаки подобия треугольников признаки, позволяющие установить, что два треугольника находятся в отношении подобия.
• Признаки равенства треугольников признаки, позволяющие установить, что два треугольника равны. Подробнее см. раздел "треугольник" подраздел "Признаки равенства треугольников".
• Проективная плоскость — евклидова плоскость, дополненная идеальной прямой (см. бесконечно удалённая прямая).
• Проективные преобразования — преобразования проективной плоскости, сохраняющие отношение инцидентности.
• Прямая Обера — прямая четырёхсторонника, на которой лежат четыре ортоцентра четырёх треугольников, образованных четырьмя попарно пересекающимися прямыми, никакие три из которых не проходят через одну точку. Здесь используются те же четыре треугольника, что и при построении точки Микеля.
• Прямая Симсона — прямая, на которой лежат основания перпендикуляров, опущенных из точки ${\displaystyle P}$ описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$ на его стороны или их продолжения.
• Прямая Эйлера — общее название определённого вида прямых треугольника. Например, (первая) прямая Эйлера проходит в треугольнике через: 1) его центроид, 2) ортоцентр, 3) центр его описанной окружности, 4) центр его окружности девяти точек, 5) его точку Экзетера (Exeter point) X(22).
• Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой (то есть составляет 90 градусов).

Р

• Равновеликие фигуры — фигуры имеющие одинаковую площадь.
• Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны. Частным случаем ромба является квадрат.

Равнобедренный треугольник— это треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине.

С

• Салинон — плоская геометрическая фигура, образованная четырьмя полуокружностями. Впервые исследована Архимедом.
• Симедиана  — отрезок, симметричный медиане треугольника относительно биссектрисы угла этого треугольника. Симедианы треугольника пересекаются в точке Лемуана.
• Серединный перпендикуляр к отрезку — прямая, перпендикулярная к отрезку и делящая его на две равные части.
• Серединный треугольник  — треугольник, образованный средними линиями исходного треугольника.
• Средняя линия треугольника или трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Средняя линия параллельна основанию треугольника (или основаниям трапеции) и равна половине основания треугольника (или полусумме оснований трапеции).
• Степень точки относительно окружности — число ${\displaystyle d^{2}-R^{2}}$ , где d — расстояние от точки до центра окружности, a R — радиус окружности.
• Стереографическая проекция — проекция из точки О сферы, проходящей через эту точку на плоскость, касающуюся сферы в точке, антиподальной к точке О.
• Скользящая симметрия — композиция симметрии относительно некоторой прямой и переноса на вектор, параллельный этой прямой (этот вектор может быть и нулевым).

Т

• Теорема Аполлония. Если в каком-либо треугольнике ABC AD его медиана, то

${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=2(AD^{2}+BD^{2})}$

• Теорема Вивиани. Сумма расстояний от произвольной точки внутри равностороннего треугольника до его сторон постоянна и равна высоте треугольника.
• Теорема Гамильтона. Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона, имеющих ту же самую окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник.
• Теорема Гаусса. Рассмотрим четырёхугольник ${\displaystyle ABCD}$ . Пусть ${\displaystyle u=AD^{2}}$ , ${\displaystyle v=BD^{2}}$ , ${\displaystyle w=CD^{2}}$ , ${\displaystyle U=BD^{2}+CD^{2}-BC^{2}}$ , ${\displaystyle V=AD^{2}+CD^{2}-AC^{2}}$ , ${\displaystyle W=AD^{2}+BD^{2}-AB^{2}}$ . Тогда ${\displaystyle uU^{2}+vV^{2}+wW^{2}=UVW+4uvw}$ .
• Теорема Дезарга. Если два треугольника перспективны (прямые, проходящие через соответственные вершины треугольников, пересекаются в одной точке), то их соответственные стороны пересекаются на одной прямой.
• Теорема Джонсона. Точки попарных пересечений окружностей Джонсона (вершины треугольника ABC) лежат на окружности того же радиуса r, что и окружности Джонсона. См. Окружности Джонсона.
• Теорема Джонсона. Пусть ${\displaystyle T}$ - треугольник с вершинами ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ , и пусть ${\displaystyle H}$ - его ортоцентр (точка пересечения трех его высот. Пусть ${\displaystyle L_{1}}$ и ${\displaystyle L_{2}}$ - любые две взаимно перпендикулярные линии, проходящие через

${\displaystyle H}$ . Пусть ${\displaystyle A_{1}}$ , ${\displaystyle B_{1}}$ и ${\displaystyle C_{1}}$ есть три точки, в которых прямая ${\displaystyle L_{1}}$ пересекают соответственно стороны ${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle CA}$ и ${\displaystyle AB}$ . Аналогично пусть ${\displaystyle A_{2}}$ , ${\displaystyle B_{2}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ есть три точки, в которых прямая ${\displaystyle L_{2}}$ пересекают эти три стороны. Дроз-Фарни теорема утверждает то, что середины трёх отрезков ${\displaystyle A_{1}A_{2}}$ , ${\displaystyle B_{1}B_{2}}$ и ${\displaystyle C_{1}C_{2}}$ лежат на одной прямой (коллинеарны).

• Теорема Жергонна. Пусть три чевианы AD, BE и CF пересекаются в точке K внутри треугольника ABC. Тогда выполняются следующие равенства:

${\displaystyle \displaystyle {\frac {KD}{AD}}+{\frac {KE}{BE}}+{\frac {KF}{CF}}=1}$

${\displaystyle \displaystyle {\frac {AK}{AD}}+{\frac {BK}{BE}}+{\frac {CK}{CF}}=2}$

• Теорема Карно. Перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁ и C₁ на стороны BC, CA и AB треугольника ABC, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A_{1}B^{2}+C_{1}A^{2}+B_{1}C^{2}=B_{1}A^{2}+A_{1}C^{2}+C_{1}B^{2}}$ .
• Теорема Карно (другая). Пусть D центр описанной окружности треугольника ABC. Тогда сумма расстояний от D до сторон треугольника ABC взятых со знаком "-" когда высота из D на сторону целиком лежит вне треугольника будет равна ${\displaystyle R+r}$ , где r — радиус вписанной окружности, а R — описанной.
• Теорема Кейси (обобщённая теорема Птолемея). Если все четыре окружности касаются внутренним образом пятой окружности и целиком лежат внутри неё, то длины шести различных отрезков прямых, попарно касающихся всевозможных пар из указанных четырёх окружностей, удовлетворяют соотношению: ${\displaystyle t_{12}\cdot t_{34}+t_{41}\cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.}$ . Здесь индексы означают порядковые номера указанных четырёх окружностей, если эти четыре окружности пронумерованы в порядке их следования по часовой стрелке при обходе по пятой окружности через их точки касания с ней.
• Теорема Мансиона. Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.
• Теорема Мардена даёт геометрическую связь между нулями комплексного многочлена третьей степени и нулями его производной.

Предположим, что нули z₁, z₂, z₃ многочлена ${\displaystyle \scriptstyle p(z)}$ третьей степени неколлинеарны. Существует единственный эллипс, вписанный в треугольник с вершинами z₁, z₂, z₃ и касающийся его сторон в серединах: эллипс Штейнера. Фокусы этого эллипса и есть нули производной ${\displaystyle \scriptstyle p'(z)}$ .

• Теорема Массельмана. Пусть дан треугольник ${\displaystyle T}$ с вершинами ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ . Пусть ${\displaystyle A^{*}}$ , ${\displaystyle B^{*}}$ и ${\displaystyle C^{*}}$  — вершины треугольника отражений ${\displaystyle T^{*}}$ , получаемого зеркальным отражением каждой вершины ${\displaystyle T}$ относительно противоположной стороны. Пусть ${\displaystyle O}$  — центр описанной окружности ${\displaystyle T}$ . Рассмотрим 3 окружности ${\displaystyle S_{A}}$ , ${\displaystyle S_{B}}$ и ${\displaystyle S_{C}}$ , проходящие через точки ${\displaystyle A\,O\,A^{*}}$ , ${\displaystyle B\,O\,B^{*}}$ и ${\displaystyle C\,O\,C^{*}}$ соответственно. Теорема утверждает, что эти три окружности Массельмана пересекаются в точке ${\displaystyle M}$ , которая является инверсией относительно описанной вокруг ${\displaystyle T}$ окружности (Теорема Коснита), которая является изогональным сопряжением центра девяти точек треугольника/
• Теорема Морли. Точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами правильного (равностороннего) треугольника.
• Теорема Наполеона. Если на сторонах треугольника внешним (внутренним) образом построены правильные треугольники, то их центры образуют правильный треугольник. Кроме того, разность площадей треугольников, полученных при построении правильных треугольников внешним и внутренним образом, равна площади исходного треугольника.
• Теорема о группировке масс. Центр масс системы точек останется прежним, если часть точек заменить одной точкой, которая расположена в их центре масс и которой приписана масса, равная сумме масс удалённых точек.
• Теорема о бабочке. Пусть через точку М, являющуюся серединой хорды PQ некоторой окружности, проведены две произвольные хорды АВ и CD той же окружности. Пусть хорды AD и ВС пересекают хорду PQ в точках X и Y. Тогда М является серединой отрезка XY.
• Теорема о дважды перспективных треугольниках. Рассмотрим два треугольника ABC и A₁B₁C₁ таких, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке O, и прямые AB₁, BC₁ и CA₁ пересекаются в одной точке O₁. Тогда прямые AC₁, BA₁ и CB₁ тоже пересекаются в одной точке O₂.
• Теорема о полном четырёхстороннике. Рассмотрим четыре точки A, B, C и D. Пусть P, Q и R — точки пересечения прямых AB и CD, AD и BC, AC и BD соответственно; K и L — точки пересечения прямой QR с прямыми AB и CD соответственно. Тогда (QRKL)=-1, где (QRKL) — двойное отношение точек Q, R, K, L.
• Теорема о трижды перспективных треугольниках. Рассмотрим два треугольника ${\displaystyle ABC}$ и ${\displaystyle A_{1}B_{1}C_{1}}$ таких, что прямые ${\displaystyle AA_{1}}$ , ${\displaystyle BB_{1}}$ и ${\displaystyle CC_{1}}$ пересекаются в одной точке ${\displaystyle O}$ , прямые ${\displaystyle AA_{1}}$ , ${\displaystyle BC_{1}}$ и ${\displaystyle CB_{1}}$ пересекаются в одной точке ${\displaystyle O_{1}}$ и прямые ${\displaystyle AC_{1}}$ , ${\displaystyle BB_{1}}$ и ${\displaystyle CA_{1}}$ пересекаются в одной точке ${\displaystyle O_{2}}$ . Тогда прямые ${\displaystyle AB_{1}}$ , ${\displaystyle BA_{1}}$ и ${\displaystyle CC_{1}}$ также пересекаются в одной точке ${\displaystyle O_{3}}$ .
• Теорема о шести окружностях. Рассмотрим цепь из окружностей, каждая из которых касается двух сторон данного треугольника, а также предыдущей окружности в цепи. Тогда эта цепь замыкается, в том смысле, что шестая окружность касается первой
• Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы.
• Теорема Помпею. Пусть дан равносторонний треугольник, вписанный в окружность. Тогда для любой точки этой окружности расстояние от неё до одной из вершин треугольника равно сумме расстояний до двух остальных вершин.
• Теорема Птолемея. Для любых точек ${\displaystyle A,B,C,D}$ плоскости выполнено неравенство

${\displaystyle |AC|\cdot |BD|\leq |AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|,}$ причём равенство достигается тогда и только тогда, когда ${\displaystyle ABCD}$ (выпуклый) вписанный четырехугольник или точки ABCD лежат на одной прямой.

• Теорема Рауса. В геометрии, теорема Рауса определяет отношение между площадями заданного треугольника и треугольника, образованного тремя попарно пересекающимися чевианами. Теорема утверждает, что если в треугольнике ${\displaystyle ABC}$ точки ${\displaystyle D}$ , ${\displaystyle E}$ и ${\displaystyle F}$ лежат на сторонах ${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle CA}$ и ${\displaystyle AB}$ соответственно, то, обозначив ${\displaystyle {\tfrac {CD}{BD}}}$ ${\displaystyle =x}$ , ${\displaystyle {\tfrac {AE}{CE}}}$ ${\displaystyle =y}$ и ${\displaystyle {\tfrac {BF}{AF}}}$ ${\displaystyle =z}$ , ориентированная площадь треугольника, образованного чевианами ${\displaystyle AD}$ , ${\displaystyle BE}$ и ${\displaystyle CF}$ по отношению к площади треугольника ${\displaystyle ABC}$ выражается соотношением ${\displaystyle {\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}}}$ .
• Теорема Симсона: Основания перпендикуляров, опущенных из точки ${\displaystyle P}$ описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$ на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона.
• Теорема Стюарта. Если точка D лежит на стороне BC треугольника ABC, то ${\displaystyle AD^{2}=p^{2}=b^{2}{\frac {x}{x+y}}+c^{2}{\frac {y}{x+y}}-{xy}}$ , где ${\displaystyle y=CD}$ , и ${\displaystyle x=BD}$ .
• Теорема Тебо: На стороне ${\displaystyle BC}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ взята точка ${\displaystyle D}$ . Окружность ${\displaystyle S_{1}}$ касается отрезков ${\displaystyle BE}$ и ${\displaystyle EA}$ и описанной окружности, окружность ${\displaystyle S_{2}}$ касается отрезков ${\displaystyle CE}$ и ${\displaystyle EA}$ и описанной окружности. Пусть ${\displaystyle I}$ , ${\displaystyle I_{1}}$ , ${\displaystyle I_{2}}$ и ${\displaystyle r}$ , ${\displaystyle r_{1}}$ , ${\displaystyle r_{2}}$  — центры и радиусы вписанной окружности и окружностей ${\displaystyle S_{1}}$ , ${\displaystyle S_{2}}$ ; ${\displaystyle \varphi =\angle ADB}$ . Тогда точка ${\displaystyle I}$ лежит на отрезке ${\displaystyle I_{1}I_{2}}$ , причём ${\displaystyle I_{1}I:II_{2}={\rm {tg}}^{2}{\frac {\varphi }{2}}}$ , причём ${\displaystyle r=r_{1}\cos ^{2}{\frac {\varphi }{2}}+r_{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi }{2}}}$ (Тебо).
• Теорема Фалеса — если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько пропорциональных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные между собой отрезки.
• Теорема Фаньяно. Ортотреугольник остроугольного треугольника имеет наименьший периметр среди всех треугольников, вписанных в данный треугольник.
• Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
• Теорема Харкорта. Пусть треугольник задан своими вершинами A, B и C, противоположные вершинам стороны имеют длины a, b и c, площадь равна K и прямая касается вписанной в треугольник окружности в произвольной точке. Обозначим расстояния от вершин треугольника до прямой через a ', b ' и c ', при этом, если вершина и центр окружности лежат по разные стороны от прямой, расстояние считается отрицательным. Тогда ${\displaystyle aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.}$
• Теорема Чевы. Три чевианы ${\displaystyle AA',BB',CC'}$ треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ конкурентны (то есть, проходят через одну точку или параллельны) тогда и только тогда, когда ${\displaystyle |BA'|\cdot |CB'|\cdot |AC'|=|CA'|\cdot |AB'|\cdot |BC'|}$ .
• Теорема Шаля утверждает, что любое движение плоскости является одним из следующего списка: параллельный перенос, поворот, скользящая симметрия (включая осевую). Теорема Шаля даёт полную классификацию всех движений плоскости.
  •  — Часто также бывает удобно воспользоваться тем фактом, что любое движение плоскости есть композиция некоторого количества осевых симметрий (всегда можно обойтись не более, чем тремя).
  •  — Аналогичная теорема классифицирует все движения трёхмерного пространства: всякое сохраняющее ориентацию движение пространства является винтовым движением (то есть композицией поворота вокруг определённой оси с параллельным переносом вдоль той же оси, причём как угол, так и вектор могут быть и нулевыми). Движение, меняющее ориентацию, является композицией симметрии относительно плоскости и винтового движения.
• Теорема Шиффлера. Пусть треугольник ABC с инцентром I имеет свою точку Шиффлера в точке пересечения четырёх прямых Эйлера четырёх треугольников BCI, CAI, ABI и ABC. Теорема Шиффлера утверждает, что эти четыре линии пересекаются в одной точке Sp.
• Теорема Штейнера — Лемуса. Если в треугольнике равны 2 биссектрисы, то этот треугольник является равнобедренным.
• Теорема Штейнера (планиметрия). Через вершину A треугольника ABC внутри него проведены две прямые, образующие равные углы со сторонами AB и AC и пересекающие сторону BC в точках M и N. Тогда ${\displaystyle {\frac {BM}{CM}}\cdot {\frac {BN}{CN}}=\left({\frac {AB}{AC}}\right)^{2}}$ .
• Точка Веррьера. В треугольнике есть три окружности, которые касаются двух сторон треугольника и описанной окружности. Такие окружности называют полувписанными или окружностями Веррьера. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера. Она служит центром гомотетии, которая переводит описанную окружность во вписанную.
• Точка Жерго́нна — точка пересечения чевиан, проходящих через точки касания вписанной окружности со сторонами этого треугольника. Точка Жергонна изотомически сопряжена точке Нагеля.
• Точка Лемуана — точка пересечения симедиан треугольника. Эта точка изогонально сопряженна центроиду.
• Точка На́геля — точка пересечения прямых, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с вневписанными окружностями. Точка Нагеля изотомически сопряжена точке Жергонна.
• Точка Торричелли — точка, из которой все стороны видны под углом 120°. Эту точку также называют изогонической (равноугольной) точкой.
• Точка Аполлония — точка, образованная пересечением трёх перпендикуляров проведённых от сторон треугольника так, что педальный треугольник, вершины которого — основания перпендикуляров, является равносторонним. Эту точку также называют изодинамической точкой.
• Точки Брокара — такие внутренние точки P и Q ${\displaystyle \triangle ABC}$ , что ${\displaystyle \angle ABP=\angle BCP=\angle CAP}$ и ${\displaystyle \angle QAB=\angle QBC=\angle QCA}$ .
• Точки изотомически сопряжённые Пусть прямые ${\displaystyle AP,BP}$ и ${\displaystyle CP}$ пересекают прямые ${\displaystyle BC,CA}$ и ${\displaystyle AB}$ в точках ${\displaystyle A_{1},B_{1}}$ и ${\displaystyle C_{1}}$ соответственно, а точки ${\displaystyle A_{2},B_{2}}$ и ${\displaystyle C_{2}}$ выбраны на прямых ${\displaystyle BC,CA}$ и ${\displaystyle AB}$ так, что ${\displaystyle {\overline {BA_{2}}}:{\overline {A_{2}C}}={\overline {A_{1}C}}:{\overline {BA_{1}}}}$ , ${\displaystyle {\overline {CB_{2}}}:{\overline {B_{2}A}}={\overline {B_{1}A}}:{\overline {CB_{1}}}}$ и ${\displaystyle {\overline {AC_{2}}}:{\overline {C_{2}B}}={\overline {C_{1}B}}:{\overline {AC_{1}}}}$ . Тогда прямые ${\displaystyle AA_{2},BB_{2}}$ и ${\displaystyle CC_{2}}$ либо параллельны, либо также пересекаются в одной точке ${\displaystyle Q}$ . В последнем случае точки ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ называют изотомически сопряжёнными относительно треугольника ${\displaystyle ABC}$ .
• Точки постоянные подобных фигур Пусть ${\displaystyle l_{1}}$ , ${\displaystyle l_{2}}$ и ${\displaystyle l_{3}}$  — соответственные прямые подобных фигур ${\displaystyle F_{1}}$ , ${\displaystyle F_{2}}$ и ${\displaystyle F_{3}}$ , пересекающиеся в точке ${\displaystyle W}$ . Пусть ${\displaystyle J_{1}}$ , ${\displaystyle J_{2}}$ и ${\displaystyle J_{3}}$  — точки пересечения прямых ${\displaystyle l_{1}}$ , ${\displaystyle l_{2}}$ и ${\displaystyle l_{3}}$ с окружностью подобия, отличные от точки ${\displaystyle W}$ . Оказывается, что эти точки зависят только от фигур ${\displaystyle F_{1}}$ , ${\displaystyle F_{2}}$ и ${\displaystyle F_{3}}$ и не зависят от выбора прямых ${\displaystyle l_{1}}$ , ${\displaystyle l_{2}}$ и ${\displaystyle l_{3}}$ . Точки ${\displaystyle J_{1}}$ , ${\displaystyle J_{2}}$ и ${\displaystyle J_{3}}$ и называют постоянными точками подобных фигур ${\displaystyle F_{1}}$ , ${\displaystyle F_{2}}$ и ${\displaystyle F_{3}}$ , а треугольник ${\displaystyle J_{1}J_{2}J_{3}}$ называют постоянным треугольником подобных фигур ${\displaystyle F_{1}}$ , ${\displaystyle F_{2}}$ и ${\displaystyle F_{3}}$ .
• Точки соответственные. Точки ${\displaystyle A_{1}}$ и ${\displaystyle A_{2}}$ называют соответственными точками подобных фигур ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$ , если при поворотной гомотетии, переводящей ${\displaystyle F_{1}}$ в ${\displaystyle F_{2}}$ , точка ${\displaystyle A_{1}}$ переходит в ${\displaystyle A_{2}}$ . Аналогично определяются соответственные прямые и отрезки.
• Точки Фейербаха - точки попарного касания вписанной и трёх вневписанных окружностей с окружностью девяти точек.
• Трактриса (линия влечения) — (от лат. trahere — тащить) — плоская трансцендентная кривая, для которой длина отрезка касательной от точки касания до точки пересечения с фиксированной прямой является постоянной величиной.
• Треугольник Брокара — треугольник с вершинами в постоянных точках треугольника. Треугольник Брокара вписан в окружность Брокара.
• Треугольники Гамильтона треугольники, фигурирующие в теореме Гамильтона. Три треугольника Гамильтона это - те три треугольника, на которые разбивают данный остроугольный треугольник три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с тремя его вершинами.
• Треугольник Кеплера — это прямоугольный треугольник, длины сторон которого составляют геометрическую прогрессию. При этом соотношение длин сторон треугольника Кеплера связано с золотым сечением ${\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}}$ .
• Треугольник Наполеона для треугольника — равносторонний треугольник, образованный центрами равносторонних треугольников, построенных на всех сторонах данного треугольника.
• Треугольник отражений. Вершины треугольника отражений ${\displaystyle T^{*}}$ получаются зеркальным отражением каждой вершины опорного треугольника ${\displaystyle T}$ относительно противоположной стороны.
• Треугольник подобия. Пусть ${\displaystyle F_{1}}$ , ${\displaystyle F_{2}}$ и ${\displaystyle F_{3}}$  — три подобные фигуры, ${\displaystyle O_{1}}$  — центр поворотной гомотетии, переводящей ${\displaystyle F_{2}}$ в ${\displaystyle F_{3}}$ , точки ${\displaystyle O_{2}}$ и ${\displaystyle O_{3}}$ определяются аналогично. Если точки ${\displaystyle O_{1}}$ , ${\displaystyle O_{2}}$ и ${\displaystyle O_{3}}$ не лежат на одной прямой, то треугольник ${\displaystyle O_{1}O_{2}O_{3}}$ называют треугольником подобия фигур ${\displaystyle F_{1}}$ , ${\displaystyle F_{2}}$ и ${\displaystyle F_{3}}$ , а его описанную окружность называют окружностью подобия этих фигур. В случае, когда точки ${\displaystyle O_{1}}$ , ${\displaystyle O_{2}}$ и ${\displaystyle O_{3}}$ совпадают, окружность подобия вырождается в центр подобия, а в случае, когда эти точки не совпадают, но лежат на одной прямой, окружность подобия вырождается в ось подобия
• Треугольник постоянный См. точки постоянные подобных фигур.
• Треугольники ортологические — треугольники ABC и A₁B₁C₁, для которых перпендикуляры, опущенные из точек A, B и C на прямые B₁C₁, C₁A₁ и A₁B₁ пересекаются в одной точке. В этом случае и перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁ и C₁ на прямые BC, CA и AB также пересекаются в одной точке.
• Трисектри́са угла есть луч, делящий этот угол в отношении 2:1.
• Трилинейные поляры треугольника. Если продолжить стороны чевианного треугольника некоторой точки и взять их точки пересечения с соответствующими сторонами, то полученные точки пересечения будут лежать на одной прямой, называемой трилинейной полярой исходной точки.
• Трисектри́са — плоская кривая.
• Тупой угол — угол, величина которого находится между 90 и 180 градусами.

У

• Угол Брокара. Пусть P — точка Брокара треугольника ABC. Угол ${\displaystyle \varphi }$ = ∠ABP = ∠BCP = ∠CAP называется углом Брокара этого треугольника.
• Угол между окружностями — угол между касательными к окружностям в точке пересечения этих окружностей. Оба угла между двумя пересекающимися окружностями равны.
• Угол между окружностью и прямой — угол между прямой и касательной к окружности в точке пересечения прямой и окружности. Оба угла между пересекающимися окружностью и прямой равны.
• Угол, опирающийся на диаметр окружности, вписанный в эту окружность, является прямым углом (в 90 градусов).

Ф

• Формула Карно — теорема евклидовой геометрии: Пусть D центр описанной окружности треугольника ABC. Тогда сумма расстояний от D до сторон треугольника ABC взятых со знаком "-" когда высота из D на сторону целиком лежит вне треугольника будет равна ${\displaystyle R+r}$ , где r — радиус вписанной окружности, а R — описанной.
• Фигура — произвольное подмножество плоскости.

Х

• Хо́рда кривой — отрезок, концы которого лежат на данной кривой.

Ц

• Центр масс см. Барицентр.
• Центральная симме́три́я Центра́льной симме́три́ей относительно точки A называют преобразование пространства, переводящее точку X в такую точку X′, что A — середина отрезка XX′. Центральная симметрия с центром в точке A обычно обозначается через ZA, в то время как обозначение SA можно перепутать с осевой симметрией. Это преобразование эквивалентно повороту на 180° относительно точки А.
• Центро́ид треугольника. Точка пересечения медиан треугольника.
• Цепь Паппа Александрийского — кольцо внутри двух касающихся кругов, заполненных попарно касающимися кругами меньших диаметров.
• Цепь Понселе: Пусть ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$  — два конических сечения. Ломаная ${\displaystyle A_{1}A_{2}\dots }$ называется цепью Понселе для пары ${\displaystyle f}$ , ${\displaystyle g}$ , если каждая вершина ${\displaystyle A_{i}}$ лежит на ${\displaystyle f}$ , и при этом (продолжения) рёбер ${\displaystyle A_{i}A_{i+1}}$ и ${\displaystyle A_{i}A_{i-1}}$ являются соответственно правой и левой касательной к ${\displaystyle g}$ .

Ч

• Чевиа́на — отрезок (или продолжение отрезка), соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной ей стороне или на её продолжении. Обычно под чевианой понимают не один такой отрезок, а один из трёх таких отрезков, проведённых из трёх разных вершин треугольника и пересекающихся в одной точке. Они удовлетворяют условиям теоремы Чевы.
• Чевианный треугольник — треугольник, тремя вершинами которого являются три основания чевиан исходного треугольника.
• Четырёхсторонник - в планиметрии то же, что и четырёхугольник.
• Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), никакие три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и невыпуклые четырёхугольники, невыпуклый четырёхугольник может быть самопересекающимся.

Э

• Эллипс — геометрическое место точек M Евклидовой плоскости, для которых сумма расстояний до двух данных точек ${\displaystyle F_{1}}$ и ${\displaystyle F_{2}}$ (называемых фокусами) постоянна и больше расстояния между фокусами, то есть

${\displaystyle |F_{1}M|+|F_{2}M|=2a,}$ причём ${\displaystyle |F_{1}F_{2}|<2a.}$

• Эллипс Брокара — эллипс с фокусами в точках Брокара. Его перспектором служит точка Лемуана.
• Эллипс Мандарта треугольника — вписанный в треугольник эллипс, касающийся его сторон в точках касания их с вневписанными окружностями
• Эллипс Штейнера

См. также

• Словарь терминов теории графов
• Словарь терминов теории групп

Примечания

Ссылки

• Краткий справочник математических терминов