WikiSort.ru - Не сортированное

Кривая постоянной ширины ${\displaystyle w}$  — плоская выпуклая кривая, длина ортогональной проекции которой на любую прямую равна ${\displaystyle w}$ .

Иными словами, кривой постоянной ширины называется плоская выпуклая кривая, расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми которой постоянно и равно ${\displaystyle w}$  — ширине кривой.

Связанные определения

• Фигурой постоянной ширины называется фигура, граница которой является кривая постоянной ширины.

Примеры

Фигурами постоянной ширины, в частности, являются круг и многоугольники Рёло (частный случай последних — треугольник Рёло). Многоугольники Рёло составлены из фрагментов окружностей и не являются гладкими кривыми. Из сопряжённых фрагментов окружностей можно построить и гладкую кривую постоянной ширины (рисунок справа), но дальнейшее увеличение гладкости кривой на этом пути невозможно

Функциональное представление

В отличие от приведенных выше простейших примеров, кривые постоянной ширины могут не совпадать с окружностью ни на каком конечном отрезке и быть везде сколь угодно гладкими. В общем виде фигура постоянной ширины ${\displaystyle w}$ c опорной функцией ${\displaystyle p(t)}$ задаётся параметрическими уравнениями^[1]

${\displaystyle x=p(t)cos(t)-p'(t)sin(t)}$

${\displaystyle y=p(t)sin(t)+p'(t)cos(t)}$ ,

при условиях

1. ${\displaystyle w=p(t)+p(t+\pi )}$ ,
2. полученная кривая является выпуклой.

Согласно элементарной тригонометрии первому условию удовлетворяет ряд Фурье следующего вида:

${\displaystyle p(t)={\frac {w}{2}}+\sum \limits _{k=2}^{+\infty }a_{k}\cos \left((2k-1)t+\theta _{k}\right)}$ ^[2]

Если коэффициенты ряда убывают достаточно быстро, то результирующая кривая будет выпуклой (без самопересечений).

В частности, опорная функция ${\displaystyle p(t)=9+cos(3t)}$ порождает кривую постоянной ширины, для которой найдено неявное представление в виде уравнения для полинома 8-й степени ^[3]

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{4}-45(x^{2}+y^{2})^{3}-41283(x^{2}+y^{2})^{2}+7950960(x^{2}+y^{2})+16(x^{2}-3y^{2})^{3}}$

${\displaystyle +48(x^{2}+y^{2})(x^{2}-3y^{2})^{2}+(x^{2}-3y^{2})x[16(x^{2}+y^{2})^{2}-5544(x^{2}+y^{2})+266382]-720^{3}=0}$

Эта кривая является аналитической функцией в окрестности любой точки либо от x, либо от y и ни в какой окрестности не совпадает с окружностью.

Свойства

• Длина кривой постоянной ширины ${\displaystyle w}$ равна ${\displaystyle \pi w}$ (теорема Барбье).
• Центры вписанной и описанной окружностей в кривую постоянной ширины совпадают, а сумма их радиусов равна ширине кривой.
• Фигура постоянной ширины ${\displaystyle w}$ может вращаться в квадрате со стороной ${\displaystyle w}$ всё время касаясь каждой из сторон.
• Среди всех фигур данной постоянной ширины треугольник Рёло имеет наименьшую площадь, а круг — наибольшую.
• Любую плоскую фигуру диаметра ${\displaystyle w}$ можно накрыть фигурой постоянной ширины ${\displaystyle w}$ .

Применения

• Сверло, сделанное на основе треугольника Рёло, позволяет^[4] сверлить почти квадратные отверстия (с неточностью примерно в 2 % от площади квадрата).
• Британские монеты достоинством 20^[5] и 50 пенни имеют форму фигуры постоянной ширины, построенной на семиугольнике.
• Двигатель Ванкеля использует^[5] в качестве поршня вращающийся внутри камеры треугольник Рёло, что позволяет сразу получать вращательное движение.
• Грейферный механизм, отвечающий за «дискретную» протяжку ленты в кинопроекторе «Луч-2», использует вращающийся внутри подвижного квадрата треугольник Рёло^[5].

Вариации и обобщения

• Фигуры постоянной ширины можно определить как выпуклые фигуры, способные вращаться внутри квадрата, одновременно касаясь всех его сторон. Можно также рассматривать фигуры, способные вращаться, касаясь всех сторон некоторого ${\displaystyle n}$ -угольника, например, правильного ${\displaystyle n}$ -угольника. Такие фигуры называются роторами^[6].
  • Например, двуугольник, образованный пересечением двух одинаковых кругов с углом при вершине, равным ${\displaystyle \pi /3}$ , является ротором равностороннего треугольника. Сверлом такой формы в принципе можно было бы сверлить треугольные отверстия без сглаженных углов.
• У фигур постоянной ширины существуют многомерные аналоги, смотри Тело постоянной ширины.

Примечания

Литература

• И. М. Яглом, В. Г. Болтянский, Выпуклые фигуры, выпуск 4 серии «Библиотека математического кружка» М.-Л., ГТТИ, 1951.-343 с.