Теорема Шаля классифицирует все изометрические преобразования (движения) плоскости.
Названа в честь Мишеля Шаля. Также теоремой Шаля называют некоторые другие утверждения в физике.
Всякое сохраняющее ориентацию движение плоскости представляет собой либо поворот (в частности, центральную симметрию, а также тождественное отображение), либо параллельный перенос.
Всякое меняющее ориентацию движение плоскости является осевой или скользящей симметрией.
Всякое сохраняющее ориентацию движение пространства является скользящим поворотом.
Всякое меняющее ориентацию движение плоскости является композицией зеркальной симметрии и скользящего поворота.
Основные идеи доказательства:
Любое движение однозначно задается тремя не лежащими на одной прямой точками и их образами. Другими словами, для любых не лежащих на одной прямой точек и их образов существует единственное движение
Возьмем любую точку и ее образ . — движение, а значит ; из чего следует, что лежит на окружности с центром в и радиусом .
Аналогичное рассуждение для точек и показывает, что также лежит на окружности с центром в и радиусом и на окружности с центром в и радиусом .
Так как три окружности могут пересекаться только в одной точке, то существует единственный образ для любой точки . Это утверждение равносильно единственности движения.
Любое движение представимо в виде композиции не более чем трёх осевых симметрий. Другими словами, любое движение представимо или как или как или как .
Возьмем произвольное движение и точки с их образами . Если мы докажем, что для существует композиция симметрий эквивалентная , то по лемме о трёх гвоздях в общем случае.
Заметим что , так как и
Найдем представление в виде композиции осевых симметрий:
, — движения, а значит . Следовательно, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку (по свойству серединного перпендикуляра), то есть на прямой . Отсюда следует, что при преобразовании — . Если , то аналогично , то есть при перейдет в . Иначе , значит снова перейдет или в некоторую или в . Итого, если или при ; или при , то . Это значит, что .
Очевидно, что — серединный перпендикуляр к отрезку . , , — движения, а значит . Следовательно, принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку , то есть . Это значит, что переводит в . Если , то аналогично . Иначе, , следовательно и тоже лежит на .Это значит, что переводит в . Следовательно, , а значит, .
Теперь каждое данное движение представим в виде композиции не более трёх симметрий по лемме о трёх симметриях.
Классифицируем получившееся равенство, тем самым классифицировав любое данное движение:
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .