WikiSort.ru - Не сортированное

Формула Карно — теорема геометрии треугольника. Даёт соотношение на расстояния от центра описанной окружности до сторон треугольника, и радиусы его вписанной и описанной окружностей. Названа в честь Лазара Карно (1753—1823).

Формулировка

Пусть D — центр описанной окружности треугольника ABC. Тогда сумма расстояний от D до сторон треугольника ABC, взятых со знаком минус, когда высота из D на сторону целиком лежит вне треугольника, будет равна ${\displaystyle R+r}$ , где r — радиус вписанной окружности, а R — описанной. В частности

${\displaystyle \pm DF\pm DG\pm DH=R+r,}$

при правильном выборе знаков^[1]:p.83.

Другая формулировка

Формула Карно^[2]:

${\displaystyle R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2}}(d_{A}+d_{B}+d_{C}),}$

где ${\displaystyle k_{a},k_{b},k_{c}}$  — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон ${\displaystyle a,b,c}$ треугольника, ${\displaystyle d_{A},d_{B},d_{C}}$  — расстояния от ортоцентра соответственно до вершин ${\displaystyle A,B,C}$ треугольника.

Расстояние от центра описанной окружности например до стороны ${\displaystyle a}$ треугольника равно:

${\displaystyle k_{a}=a/(2tgA);}$

расстояние от ортоцентра например до вершины ${\displaystyle A}$ треугольника равно:

${\displaystyle d_{A}=a/(tgA).}$

Следствия

• Японская теорема о вписанном многоугольнике. Если вписанный ${\displaystyle n}$ -угольник разрезать на ${\displaystyle n-2}$ треугольникa непересекающимися диагоналями, то сумма радиусов их вписанных окружностей не зависит от способа разрезания.
  • Более того выпуклый ${\displaystyle n}$ -угольник является вписанным если это условие соблюдается.

См. также

• Критерий Карно
• Теорема Карно (термодинамика)
• Цикл Карно

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Carnot's theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Примечания

Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.