WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Стюарта — метрическая теорема в евклидовой планиметрии.

Формулировка

Одно из доказательств теоремы основано на применении векторной алгебры и, в частности, свойств скалярного произведения^[1].

Доказательство(1)

${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BD}}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {CD}}}$

Первое уравнение домножим на ${\displaystyle CD}$ , а второе на ${\displaystyle BD}$ .

${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}\cdot CD={\overrightarrow {AB}}\cdot CD+{\overrightarrow {BD}}\cdot CD}$

${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}\cdot BD={\overrightarrow {AC}}\cdot BD+{\overrightarrow {CD}}\cdot BD}$

Теперь сложим полученные уравнения:

${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}\cdot BC={\overrightarrow {AB}}\cdot CD+{\overrightarrow {AC}}\cdot BD}$

,так как

${\displaystyle {\overrightarrow {BD}}\cdot CD+{\overrightarrow {CD}}\cdot BD=0}$ .

${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}={\overrightarrow {AB}}{\frac {CD}{BC}}+{\overrightarrow {AC}}{\frac {BD}{BC}}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

${\displaystyle \left({\overrightarrow {AD}}\right)^{2}=\left({\overrightarrow {AB}}\right)^{2}\left({\frac {CD}{BC}}\right)^{2}+\left({\overrightarrow {AC}}\right)^{2}\left({\frac {BD}{BC}}\right)^{2}+2{\overrightarrow {AB}}\cdot {\overrightarrow {AC}}\cdot {\frac {CD}{BC}}\cdot {\frac {BD}{BC}}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {AC}}-{\overrightarrow {AB}}}$

Аналогично:

${\displaystyle BC^{2}=AC^{2}-2{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}+AB^{2}}$

${\displaystyle 2{\overrightarrow {AC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=AC^{2}+AB^{2}-BC^{2}}$

${\displaystyle AD^{2}=AB^{2}\cdot {\frac {CD^{2}}{BC^{2}}}+AC^{2}{\frac {BD^{2}}{BC^{2}}}+AC^{2}{\frac {CD\cdot BD}{BC^{2}}}+AB^{2}{\frac {CD\cdot BD}{BC^{2}}}-CD\cdot BD}$

${\displaystyle AD^{2}=AB^{2}\cdot {\frac {CD}{BC}}+AC^{2}\cdot {\frac {BD}{BC}}-CD\cdot BD}$

ч.т.д.

Доказательство(2)

${\displaystyle AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}-2AD\cdot BD\cos \angle ADB}$

${\displaystyle AC^{2}=AD^{2}+DC^{2}-2ADDC\cos \angle ADC=AD^{2}+DC^{2}+2AD\cdot DC\cos \angle ADB}$

Первое уравнение помножим на ${\displaystyle DC}$ ,а второе на ${\displaystyle BD}$ :

${\displaystyle AB^{2}DC=BD^{2}DC+AD^{2}DC-2AD\cdot BD\cdot DC\cos \angle ADB}$

${\displaystyle AC^{2}BD=AD^{2}BD+DC^{2}BD+2AD\cdot DC\cdot BD\cos \angle ADB}$

Сложим уравнения:

${\displaystyle AB^{2}DC+AC^{2}BD=BD^{2}DC+AD^{2}DC+AD^{2}BD+DC^{2}BD}$

${\displaystyle AD^{2}(DC+BD)=AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD^{2}DC-DC^{2}BD}$

${\displaystyle AD^{2}(DC+BD)=AB^{2}DC+AC^{2}BD-BD\cdot DC(BD+DC)}$

${\displaystyle AD^{2}={\frac {AB^{2}DC}{BD+DC}}+{\frac {AC^{2}BD}{BD+DC}}-BD\cdot DC}$

ИЛИ :

${\displaystyle AD^{2}={\frac {AB^{2}DC}{BC}}+{\frac {AC^{2}BD}{BC}}-BD\cdot DC}$

История

Теорема названа по имени доказавшего её английского математика М. Стюарта и опубликовавшего её в труде «Некоторые общие теоремы» (1746, Эдинбург). Теорему сообщил Стюарту его учитель Р. Симсон, который опубликовал эту теорему лишь в 1749 г.

Применение

• Теорему можно использовать для нахождения медиан и биссектрис треугольников.
• Следствием теоремы Стюарта является теорема Птолемея, а её частным случаем — теорема Аполлония.

Обобщение

• Теорема Стюарта есть следствие соотношения Бретшнайдера для четырехугольника. В частности, если четырехугольник вырождается в треугольник (одна вершина попадает на сторону), то из соотношения Бретшнайдера следует теорема Стюарта.

Примечания

Литература

• Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, И. И. Юдина. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 9 класс. 4-е изд. Изд-во Вита-Пресс, 2004. стр.53.
• В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, С. А. Шестаков, И. И. Юдина. Геометрия. Пособие для углубленного изучения математики. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 2005. 488 с. стр.302-303.
• Мантуров О. В., Солнцев Ю. К. Толковый словарь математических терминов. Пособие для учителей. Под редакцией Диткина В. А. М.: Просвещение, 1965. 540с.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 60-61. — ISBN 5-94057-170-0.

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Викифицировать список литературы.