Чевиана — это любой отрезок в треугольнике, один конец которого является вершиной треугольника, а другой конец лежит на противоположной стороне[1]. Медианы, высоты и биссектрисы являются специальными случаями чевиан. Название «чевиана» происходит от имени итальянского инженера Джованни Чевы, который доказал хорошо известную теорему о чевианах и которая также носит его имя[2].
Длину чевианы можно найти по теореме Стюарта — длина чевианы d (см. рисунок) задаётся формулой
Если чевиана является медианой (то есть делит сторону пополам), длина может быть определена по формуле
или
поскольку
Следовательно,
Если чевиана является биссектрисой, её длина удовлетворяет формуле
и [3]
откуда
где полупериметр s = (a+b+c)/2.
Сторона a делится в пропорции b:c.
Если чевиана является высотой, а потому перпендикулярна стороне, её длина удовлетворяет формулам
и
где полупериметр s = (a+b+c) / 2.
Имеются различные свойства пропорций длин, образованных тремя чевианами, проходящими через одну общую внутреннюю точку[4]. Для треугольника на рисунке справа выполняются равенства
Два последних свойства эквивалентны, поскольку сумма этих двух уравнений даёт тождество 1 + 1 + 1 = 3.
Делители периметра треугольника — это чевиана, которая делит периметр пополам. Три таких делителя пересекаются в точке Нагеля треугольника.
Три делителя (пополам) площади треугольника — это его медианы.
Если в каждой вершине треугольника проведены две чевианы, делящие углы на три равные части, то шесть чевиан пересекаются попарно, образуя правильный треугольник, называемый треугольником Морли.
Теорема Рауса определяет отношение площади заданного треугольника к площади треугольника, образованного попарным пересечением трёх чевиан, по одной из каждой вершины.
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .