WikiSort.ru - Не сортированное

Выпуклое множество в аффинном или векторном пространстве — множество, в котором все точки отрезка, образуемого любыми двумя точками данного множества, также принадлежат данному множеству.

Определения

Пусть ${\displaystyle A}$  — аффинное или векторное пространство над полем вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

Множество ${\displaystyle K\subset A}$ называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками ${\displaystyle x,\;y\in K}$ множеству ${\displaystyle K}$ принадлежат все точки отрезка ${\displaystyle xy}$ , соединяющего в пространстве ${\displaystyle A}$ точки ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ . Этот отрезок можно представить как

${\displaystyle \bigcup \limits _{t\in [0;\;1]}\{x+t\cdot {\overrightarrow {xy}}\}.}$

Связанные определения

Множество ${\displaystyle K}$ векторного пространства ${\displaystyle V}$ называется абсолютно выпуклым, если оно выпукло и уравновешенно.

Примеры

• Выпуклые подмножества множества ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (множество вещественных чисел) представляют собой интервалы из ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .
• Примерами выпуклых подмножеств в двумерном евклидовом пространстве (${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ) являются правильные многоугольники.
• Примерами выпуклых подмножеств в трёхмерном евклидовом пространстве (${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ) являются архимедовы тела и правильные многогранники.
• Тела Кепплера — Пуансо (правильные звездообразные многогранники) являются примерами невыпуклых множеств.

Свойства

• Выпуклое множество в топологическом линейном пространстве является связным и линейно связным, гомотопически эквивалентным точке.
• В терминах связности, выпуклое множество можно определить так: множество выпукло, если его пересечение с любой (вещественной) прямой связно.
• Пусть ${\displaystyle K}$  — выпуклое множество в линейном пространстве. Тогда для любых элементов ${\displaystyle u_{1},\;u_{2},\;\ldots ,\;u_{r}}$ принадлежащих ${\displaystyle K}$ и для всех неотрицательных ${\displaystyle \lambda _{1},\;\lambda _{2},\;\ldots ,\;\lambda _{r}}$ , таких что ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\ldots +\lambda _{r}=1}$ , вектор

  ${\displaystyle w=\sum _{k=1}^{r}\lambda _{k}u_{k}}$

принадлежит ${\displaystyle K}$ .

• Вектор ${\displaystyle w}$ называется выпуклой комбинацией элементов ${\displaystyle u_{1},\;u_{2},\;\ldots ,\;u_{r}}$ .

• Пересечение любого числа выпуклых множеств является выпуклым множеством, таким образом выпуклые подмножества образуют полную сетку^{[неизвестный термин]}. Из этого следует, что для любого подмножества ${\displaystyle A}$ линейного пространства существует наименьшее выпуклое множество его содержащее. Это множество является пересечением всех выпуклых множеств содержащих ${\displaystyle A}$ и называется выпуклой оболочкой множества ${\displaystyle A}$ .
• Замкнутые выпуклые множества могут быть определены как пересечения замкнутых полупространств (множества точек в пространстве, которые лежат только на одной части гиперплоскости). Из выше сказанного становится понятным, что такие пересечения являются выпуклыми и замкнутыми множествами. Для доказательства обратного, то есть что каждое выпуклое множество может быть представлено в виде пересечения, можно использовать теорему об опорной гиперплоскости в форме в которой для данного замкнутого выпуклого множества ${\displaystyle C}$ и точки ${\displaystyle P}$ , не принадлежащей ему, существует замкнутое полупространство ${\displaystyle H}$ , содержащее ${\displaystyle C}$ и не содержащее ${\displaystyle P}$ . Теорема об опорной гиперплоскости является частным случаем теоремы Хана — Банаха из функционального анализа.
• Теорема Хелли: Предположим в конечном семействе выпуклых подмножеств ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ , пересечение любых ${\displaystyle d+1}$ из них непусто. Тогда пересечение всех подмножеств из этого семейства непусто.
• Любое выпуклое множество единичной площади в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ можно целиком заключить в некоторый треугольник площади 2^[1].

Вариации и обобщения

• Без каких-либо изменений определение работает для аффинных пространств над произвольным расширением поля вещественных чисел.

См. также

• Звёздная область
• Выпуклая функция
• Лемма Шепли — Фолкмана
• Выпуклое метрическое пространство

Литература

• Половинкин Е. С., Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3..
• Тиморин В. А. Комбинаторика выпуклых многогранников. — М.: МЦНМО, 2002. — 16 с. — ISBN 5-94057-024-0..

Ссылки