Теорема Дезарга является одной из основных теорем проективной геометрии. Она формулируется следующим образом:
Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку, то три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой. |
Обратное тоже верно:
Если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку. |
Эти две теоремы являются двойственными по отношению друг к другу, и иногда объединяются в единую теорему, которая формулируется так: «Два треугольника имеют центр перспективы[1] тогда и только тогда, когда они имеют ось перспективы[2]».
Понселе основал на ней свою изящную теорию гомологических фигур. Он называл два треугольника, о которых идет речь в теореме Дезарга, гомологическими, точку пересечения прямых, соединяющих попарно их вершины, центром гомологии, и прямую, на которой попарно пересекаются их стороны, — осью гомологии.
Понселе дал следующую теорему для геометрии в пространстве, как соответствующую теореме Дезарга на плоскости:
Если два тетраэдра имеют вершины, лежащие попарно на четырех прямых, сходящихся в одной точке, то плоскости противоположных граней пересекаются по четырем прямым, находящимся в одной плоскости. |
Эта теорема может быть обобщена еще далее следующим образом:
Когда вершины двух тетраэдров помещены попарно на четырех прямых, принадлежащих к одной группе образующих гиперболоида с одною полостью, то грани их пересекаются по четырем прямым, которые принадлежат к образующим другого гиперболоида. |
Точки и прямые в теореме Дезарга образуют так называемую конфигурацию Дезарга. Здесь через каждую из 10 точек проходят 3 прямые и на каждой из 10 прямых лежат 3 точки. При этом любая из 10 точек может быть принята за «вершину трёхгранной пирамиды» («дезаргову точку») в приведённом выше доказательстве. Любая прямая может быть взята как «дезаргова прямая». Фиксирование дезарговой точки или дезарговой прямой полностью определяет всю конфигурацию.
При построении проективной геометрии плоскости, без выхода в трёхмерное пространство, теорема Дезарга не выводится из основных аксиом проективной плоскости. Это означает, что возможно построить проективную плоскость, где теорема Дезарга не верна. Например плоскость Кэли — проективная плоскость над алгеброй Кэли не является дезарговой, см. также недезаргова геометрия.
При построении дезарговой проективной плоскости утверждение теоремы Дезарга добавляют к системе аксиом проективной плоскости в качестве ещё одной аксиомы.
Теорема Дезарга была открыта французским геометром Дезаргом: она, вместе с двумя другими, из которых одна есть её обратная, была помещена в конце сочинения Traité de perspective, составленного Боссом согласно началам и методу Дезарга и появившегося в 1636 году. В этом сочинении было отмечено, что это утверждение очевидно, когда треугольники находятся в двух разных плоскостях; рассмотрение же случая, когда они лежат в одной плоскости, доставляет один из первых примеров употребления теоремы Менелая у новых геометров. Известность теорема Дезарга получила в начале XIX века благодаря её употреблению в работах Брианшона и Понселе.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .