Трапе́ция (от др.-греч.τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — выпуклыйчетырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Часто в определение трапеции добавляют условие, что две другие стороны должны быть не параллельны[1]. Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
Варианты определения
Существует и другое определение трапеции.
Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны[2][3]. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Однако при использовании такого определения большинство признаков и свойств равнобедренной трапеции перестают быть верными (так как параллелограмм становится её частным случаем). Приведённые в разделе Общие свойства формулы верны для обоих определений трапеции.
Связанные определения
Элементы трапеции
Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции.
Две другие стороны называются боковыми сторонами.
Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Виды трапеций
Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой[4] или равнобочной[5] трапецией).
Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.
Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
(Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен среднему гармоническому длин оснований трапеции (формула Буракова).
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
Треугольники, лежащие на основаниях при пересечении диагоналей, подобные.
Треугольники, лежащие на боковых сторонах, равновеликие.
Если отношение оснований равно , то отношение площадей треугольников, лежащих на основаниях, равно .
Высота трапеции определяется формулой:
где — большее основание, — меньшее основание, и — боковые стороны.
Диагонали трапеции и связаны со сторонами соотношением:
Их можно выразить в явном виде:
Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами:
а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие:
Если же известна высота , то
Свойства и признаки равнобедренной трапеции
Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:
прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции);
высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
углы при любом основании равны;
сумма противоположных углов равна 180°;
длины диагоналей равны;
вокруг этой трапеции можно описать окружность;
вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого антипараллелограмма.
Кроме того
если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 6 июля 2015 года.
Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписатьокружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.
2019-2024 WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии