WikiSort.ru - Не сортированное

Окружность Аполло́ния — геометрическое место точек плоскости, отношение расстояний от которых до двух заданных точек — величина постоянная, не равная единице.

Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония.

Построение

Пусть на плоскости даны две точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ . Рассмотрим все точки ${\displaystyle P}$ этой плоскости, для каждой из которых отношение

${\displaystyle k={\frac {PA}{PB}}}$ ,

есть фиксированное положительное число. При ${\displaystyle k=1}$ эти точки заполняют срединный перпендикуляр к отрезку ${\displaystyle AB}$ ; в остальных случаях указанное геометрическое место — окружность, называемая окружностью Аполлония.

Кривая постоянной разности расстояний между двумя точками — гипербола, постоянной суммы — эллипс, постоянного произведения — овал Кассини.

Свойства

• Радиус окружности Аполлония равен ${\displaystyle R={\frac {k}{|k^{2}-1|}}\cdot AB.}$
• Отрезок ${\displaystyle PC}$ между точкой на окружности и точкой пересечения окружности с прямой ${\displaystyle AB}$ является биссектрисой самого угла ${\displaystyle \angle APB}$ или угла, смежного с ним.
• Инверсия относительно окружности Аполония меняет точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ местами.
• Центр данной окружности лежит на прямой, соединяющей эти две точки.

О доказательствах

• Одно из доказательств основано на свойстве внутренней и внешней биссектрисы треугольника, а именно то что биссектриса делит противоположную сторону в отношении пропорциональном прилежащим к ней сторонам.^[1]
• Существует доказательство основанное на свойстве инверсии.^[2]
• Также существует довольно простое доказательство прямым подсчётом в координатах

Приложения

• Одно из решений задачи Брахмагупты основано на построении окружности Аполлония.
• Окружность Аполлония находит применение при решении задачи сближения на плоскости с использованием стратегии параллельного сближения.

См. также

• Эллиптические координаты

Примечания

Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.