WikiSort.ru - Не сортированное

Поризм Понселе — классическая теорема проективной геометрии. Назван в честь Жан-Виктора Понселе.

История

Поризм Понселе был открыт французским математиком Жан-Виктором Понселе в 1812—1814, когда он находился в плену в Саратове. В саратовском плену он написал (в основном) свой трактат о проективных свойствах фигур, а также трактат по аналитической геометрии (семь тетрадей, изданных впоследствии — в 1862—1864 гг. — под заглавием «Applications d’Analyse et de Géometrie»)^{[источник не указан 387 дней]}.

Формулировка

Пусть $A_{1}A_{2}\ldots A_{n}$ — многоугольник с $n$ различными вершинами, вписанный в конику $C$ и описанный около другой коники $\Gamma$ . Тогда для любых точек $B_{1},B_{2}$ коники $C$ , таких, что $B_{1}\neq B_{2}$ и $B_{1}B_{2}$ касается $\Gamma$ , существует многоугольник $B_{1}B_{2}\ldots B_{n}$ , вписанный в $C$ и описанный около $\Gamma$ .^[1]

Замечания

Иллюстрация к поризму Понселе для $n=3$ . Бесконечное множество треугольников, вписанных в одну окружность и описанных около другой окружности.

На анимационном рисунке показано бесконечное множество бицентрических треугольников.
Если коника является окружностью, многоугольники, которые вписаны в один круг и описанные около другого называются бицентрическими многоугольниками, так что это — особый случай поризма Понселе может быть выражен лаконично, учитывая, что каждый бицентрический многоугольник является частью бесконечного множества бицентрических многоугольников относительно одних и тех же двух кругов^[2]^{:p. 94}.

Алгебраическое доказательство

Рассмотрим множество пар вида «точка на внешней конике и касательная, выпущенная из неё ко внутренней». Это множество может быть определено алгебраическим уравнением в произведении проективной плоскости и двойственной к ней (то есть множества прямых на исходной плоскости), которое является проективным благодаря вложению Сегре. Ясно, что в общей конфигурации получившееся алгебраическое многообразие будет невырожденной кривой. Вычислим её род по формуле Римана — Гурвица^[en]: это многообразие естественным образом (отображением забывания прямой) проецируется на внешнее коническое сечение, причём над общей точкой будет висеть два прообраза, и лишь только в четырёх точках — точках пересечения конических сечений, существование которых гарантируется теоремой Безу, — оно имеет один прообраз, то есть оно разветвлено в этих четырёх точках, и только в них. Стало быть, эйлерова характеристика накрывающей кривой равна $2(2-4)+4=0$ , то есть кривая имеет род 1 и в силу невырожденности является эллиптической кривой.

Будем стартовать из какой-то точки, проводя касательные. Имея выделенную точку старта и направление обхода, мы получаем последовательность пар типа «точка на внешней конике и касательная, выпущенная из ней ко внутренней». Заметим, что одной невырожденной точке на внешней конике соответствуют две точки на эллиптической кривой (соответствующие двум исходящим из ней касательным), и сумма их как точек эллиптической кривой даёт отображение из внешней коники в эллиптическую кривую, которое является отображением в точку, поскольку может быть поднято на универсальную накрывающую — комплексную плоскость, где, в силу компактности сферы, оно будет ограниченным и, по теореме Лиувилля, постоянным. Стало быть, переброска касательной, исходящей из одной точки, задаётся отображением $x\mapsto \xi -x$ , где $\xi$ — константа. Аналогично переброска точки, лежащей на касательной, имеет вид $x\mapsto \zeta -x$ , а их композиция, таким образом, имеет вид $x\mapsto \zeta -\xi +x$ ; но композиция — это построение следующей стороны цепи по предыдущей, и замыкание цепи равносильно тому, что $\zeta -\xi$ лежит в кручении эллиптической кривой как группы по сложению, и, стало быть, не зависит от начальной точки; равно так же от неё не зависит и порядок кручения, то есть число шагов, за которое цепь замкнётся.

Вариации и обобщения

Теорема Кэли

Пусть $f$ — окружность $x^{2}+y^{2}=1$ , а $g$ — эллипс $ax^{2}+by^{2}=1$ . Тогда условие на зацикливание цепи задаётся в терминах ряда Тейлора функции ${\sqrt {(a^{2}+t)(b^{2}+t)(1+t)}}=c_{0}+c_{1}t+c_{2}t^{2}+\dots$ . (Каждый коэффициент $c_{i}$ вычисляется через $a$ и $b$ , например, $c_{0}=ab$ .) А именно,

1) Цепь Понселе пары $f$ и $g$ зацикливается за $2m+1$ шагов тогда и только тогда, когда

{\begin{vmatrix}c_{2}&\dots &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m}\end{vmatrix}}=0.

2) Цепь Понселе пары $f$ и $g$ зацикливается за $2m$ шагов тогда и только тогда, когда^[3]

{\begin{vmatrix}c_{3}&\dots &c_{m+1}\\\vdots &&\vdots \\c_{m+1}&\dots &c_{2m-1}\end{vmatrix}}=0.

Теорема Шварца

Пусть $A_{0}A_{1}\dots$ — цепь Понселе. Обозначим через $\ell _{i}$ прямую $A_{i}A_{i+1}$ и рассмотрим точки пересечения $B_{i,j}=\ell _{i}\cap \ell _{j}$ . Тогда для любого целого $k$ ,

Все точки $B_{i,i+k}$ лежат на одном коническом сечении;
Все точки $B_{i,k-i}$ лежат на одном коническом сечении.

См. также

Примечания

↑ Марсель Берже, Геометрия, Следствие 16.6.11.
↑ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. 1960).
↑ Dragović, Vladimir, Radnović, Milena. Poncelet Porisms and Beyond. — Springer, 2011. — С. 116. — (Frontiers in Mathematics). — ISBN 3034800142.

Литература

Bos, H. J. M.; Kers, C.; Oort, F.; Raven, D. W. Poncelet’s closure theorem. Expositiones Mathematicae 5 (1987), no. 4, 289—364.

Ссылки

Живой чертёж
Марсель Берже. Геометрия: Пер. с французского. — М.: Мир, 1984. — т.2 16.6 с. 140—148
Лекция 29 в Табачников С.Л.. Фукс Д.Б. Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — 512 с. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-731-7.
В. В. Прасолов. Доказательство теоремы Понселе по Дарбу, Матем. просв., сер. 3, 5, МЦНМО, М., 2001, 140—144
Г. Б. Шабат. Вокруг Понселе Летняя школа «Современная математика», 2014 г. Дубна

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2026
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] Марсель Берже, Геометрия, Следствие 16.6.11.

[Johnson-2] Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. 1960).

[3] Dragović, Vladimir, Radnović, Milena. Poncelet Porisms and Beyond. — Springer, 2011. — С. 116. — (Frontiers in Mathematics). — ISBN 3034800142.