WikiSort.ru - Не сортированное

Коллинеа́рность — отношение параллельности векторов: два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой^[1]. Допусти́м синоним — «параллельные» векторы.

Коллинеарные векторы могут быть одинаково направлены («сонаправлены») или противоположно направлены (в последнем случае их иногда называют «антиколлинеарными» или «антипараллельными»).

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Обозначения

• Коллинеарные векторы: ${\displaystyle {\vec {a}}\parallel {\vec {b}}}$
• Сонаправленные векторы: ${\displaystyle {\vec {a}}\upuparrows {\vec {b}}}$
• Противоположно направленные векторы: ${\displaystyle {\vec {a}}\uparrow \downarrow {\vec {b}}}$

Свойства коллинеарности

Пусть ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}$  — векторы пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Тогда верны следующие утверждения:

• Отношение коллинеарности
  1. рефлексивно: ${\displaystyle {\vec {a}}||{\vec {a}}}$
  2. симметрично: ${\displaystyle {\vec {a}}||{\vec {b}}\Leftrightarrow {\vec {b}}||{\vec {a}}}$
• Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
• Если ${\displaystyle {\vec {a}}||{\vec {b}}}$ и ${\displaystyle {\vec {b}}\neq 0}$ , то cуществует действительное число ${\displaystyle \;\lambda }$ такое, что ${\displaystyle {\vec {a}}=\lambda {\vec {b}}\;}$ (причем ${\displaystyle \lambda >0}$ , если векторы сонаправлены, и ${\displaystyle \lambda <0}$ , если они противонаправлены). Это соотношение также может служить критерием коллинеарности.
• Скалярное произведение коллинеарных векторов равно произведению их длин (взятых со знаком «-», если векторы противоположно направлены)
• Векторы на плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда их псевдоскалярное произведение равно 0.
• На плоскости 2 неколлинеарных вектора ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}$ образуют базис. Это значит, что любой вектор ${\displaystyle {\vec {c}}}$ можно представить в виде: ${\displaystyle {\vec {c}}=x_{1}{\vec {a}}+x_{2}{\vec {b}}}$ . Тогда ${\displaystyle \;\{x_{1},x_{2}\}}$ будут координатами ${\displaystyle {\vec {c}}}$ в данном базисе.

Обобщения

Выше описанные критерии коллинеарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле, а как элементы произвольного линейного пространства.

Иногда коллинеарными называют точки, которые лежат на одной прямой^[1].

Примечания

См. также

• Компланарность

Ссылки

• На Викискладе есть медиафайлы по теме Коллинеарность

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.