WikiSort.ru - Не сортированное

Тетра́эдр (др.-греч. τετρά-εδρον — четырёхгранник^[1], от др.-греч. τέσσᾰρες, τέσσερες, τέττᾰρες, τέττορες, τέτορες — «четыре» + др.-греч. ἕδρα — «седалище, основание») — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника^[2], треугольная пирамида. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники, называется правильным. Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников.

Свойства тетраэдра

Параллельные плоскости, проходящие через три пары скрещивающихся рёбер тетраэдра, определяют описанный около тетраэдра параллелепипед.

Плоскость, проходящая через середины двух скрещивающихся рёбер тетраэдра, делит его на две равные по объёму части[3]:216-217.

Бимедианы тетраэдра  пересекаются в той же самой точке, что и медианы тетраэдра. Бимедианами тетраэдра называют отрезки, соединяющие середины его скрещивающихся рёбер (не имеющих общих вершин).

Центры сфер, которые проходят через три вершины и инцентр, лежат на сфере, центр которой совпадает с центром описанной сферы.Также это утверждение верно и для внешних инцентров.

Плоскости, которые проходят через середину ребра и перпендикулярны противоположному ребру,пересекаются в одной точке (ортоцентр).

Центр сферы(F),которая проходит через центры тяжести граней тетраэдра, центр тяжести тетраэдра(M), центр описанной сферы(R) и ортоцентр (H) лежат на одной прямой. При этом RM=MH=3MF.

Центр сферы (S) вписанный в дополнительный тетраэдр,центр сферы (N) вписанный в антидополнительный тетраэдр, центр тяжести тетраэдра (M) и центр вписанной сферы (I) лежат на одной прямой.

Пусть точка G1 делит отрезок соединяющий ортоцентр(H) и вершину 1 в отношении 1:2. Опустим перпендикуляр с точки G1 на грань противолежащей вершине 1. Перпендикуляр пересекает грань в точке W1. Точки G1 и W1 лежат на сфере, которая проходит через центры тяжести граней тетраэдра.

Типы тетраэдров

Равногранный тетраэдр

Все грани его представляют собой равные между собой треугольники. Развёрткой равногранного тетраэдра является треугольник, разделённый тремя средними линиями на четыре равных треугольника. В равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на поверхности одной сферы (сферы 12 точек) (Аналог окружности Эйлера для треугольника).

Свойства равногранного тетраэдра:

• Все его грани равны (конгруэнтны).
• Скрещивающиеся рёбра попарно равны.
• Трёхгранные углы равны.
• Противолежащие двугранные углы равны.
• Два плоских угла, опирающихся на одно ребро, равны.
• Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°.
• Развёртка тетраэдра — треугольник или параллелограмм.
• Описанный параллелепипед прямоугольный.
• Тетраэдр имеет три оси симметрии.
• Общие перпендикуляры скрещивающихся рёбер попарно перпендикулярны.
• Средние линии попарно перпендикулярны.
• Периметры граней равны.
• Площади граней равны.
• Высоты тетраэдра равны.
• Отрезки, соединяющие вершины с центрами тяжести противоположных граней, равны.
• Радиусы описанных около граней окружностей равны.
• Центр тяжести тетраэдра совпадает с центром описанной сферы.
• Центр тяжести совпадает с центром вписанной сферы.
• Центр описанной сферы совпадает с центром вписанной.
• Вписанная сфера касается граней в центрах описанных около этих граней окружностей.
• Сумма внешних единичных нормалей (единичных векторов, перпендикулярных к граням), равна нулю.
• Сумма всех двугранных углов равна нулю.
• Центры вневписанных сфер лежат на описанной сфере.

Объём тетраэдра

• Объём тетраэдра (с учётом знака), вершины которого находятся в точках ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3}),}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4}),}$ равен

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_{3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\x_{4}-x_{1}&y_{4}-y_{1}&z_{4}-z_{1}\end{vmatrix}},}$

или

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\ SH,}$

где ${\displaystyle S}$  — площадь любой грани, а ${\displaystyle H}$  — высота, опущенная на эту грань.

• Объём тетраэдра через длины рёбер выражается с помощью определителя Кэли-Менгера:

${\displaystyle 288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}.}$

• Эта формула имеет плоский аналог для площади треугольника в виде варианта формулы Герона через аналогичный определитель.
• Объём тетраэдра через длины двух противоположных рёбер a и b , как скрещивающихся линий, которые удалены на расстояние h друг от друга и образуют друг с другом угол ${\displaystyle \phi }$ , находится по формуле:

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}abh\sin \phi .}$

• Объём тетраэдра через длины трёх его рёбер a,b и c, выходящих из одной вершины и образующих между собой попарно соответственно плоские углы ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ , находится по формуле^[5]

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\ abc{\sqrt {D}},}$

где

$${\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma &\cos \beta \\\cos \gamma &1&\cos \alpha \\\cos \beta &\cos \alpha &1\end{vmatrix}}.}$$

• Аналогом для плоскости последней формулы является формула площади треугольника через длины двух его сторон a и b, выходящих из одной вершины и образующих между собой угол ${\displaystyle \gamma }$ :

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\ ab{\sqrt {D}},}$

где ${\displaystyle D={\begin{vmatrix}1&\cos \gamma \\\cos \gamma &1\\\end{vmatrix}}.}$

Формулы тетраэдра в декартовых координатах в пространстве

Обозначения:

${\displaystyle \mathbf {r} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3}),}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4})}$ — координаты вершин тетраэдра.

• Объём тетраэдра (с учётом знака):

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}{\begin{vmatrix}1&x_{1}&y_{1}&z_{1}\\1&x_{2}&y_{2}&z_{2}\\1&x_{3}&y_{3}&z_{3}\\1&x_{4}&y_{4}&z_{4}\end{vmatrix}}}$ .

• Координаты центра тяжести(пересечение медиан):${\displaystyle \mathbf {r} _{T}(x_{T},y_{T},z_{T})}$

${\displaystyle x_{T}={\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}};}$ ${\displaystyle y_{T}={\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}}{4}};}$ ${\displaystyle z_{T}={\frac {z_{1}+z_{2}+z_{3}+z_{4}}{4}}.}$

• Координаты центра вписанной сферы:${\displaystyle \mathbf {r} _{r}(x_{r},y_{r},z_{r})}$

${\displaystyle x_{r}={\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};}$ ${\displaystyle y_{r}={\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}};}$ ${\displaystyle z_{r}={\frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}},}$

где ${\displaystyle S_{1}}$ -площадь грани противолежащей первой вершине, ${\displaystyle S_{2}}$ -площадь грани противолежащей второй вершине и т. д.

Соответственно уравнение вписанной сферы:

${\displaystyle (x-{\frac {S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\frac {S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2},}$

Уравнение вневписанной сферы противолежащей первой вершине:

${\displaystyle (x-{\frac {-S_{1}x_{1}+S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}+S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\frac {-S_{1}z_{1}+S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2},}$

Уравнение вневписанной сферы противолежащей первой и второй вершин(количество таких сфер может варьироваться от 0 до 3-х):

${\displaystyle (x-{\frac {-S_{1}x_{1}-S_{2}x_{2}+S_{3}x_{3}+S_{4}x_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(y-{\frac {-S_{1}y_{1}-S_{2}y_{2}+S_{3}y_{3}+S_{4}y_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}+(z-{\frac {-S_{1}z_{1}-S_{2}z_{2}+S_{3}z_{3}+S_{4}z_{4}}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2}=({\frac {3V}{-S_{1}-S_{2}+S_{3}+S_{4}}})^{2},}$

• Уравнение описанной сферы:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}&x&y&z&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}+z_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\\x_{4}^{2}+y_{4}^{2}+z_{4}^{2}&x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\end{vmatrix}}=0.}$

Формулы тетраэдра в барицентрических координатах

Обозначения:

${\displaystyle \mathbf {J} (\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4})=\alpha _{1}\mathbf {J_{1}} +\alpha _{2}\mathbf {J_{2}} +\alpha _{3}\mathbf {J_{3}} +\alpha _{4}\mathbf {J_{4}} ,}$  — барицентрические координаты.

• Объём тетраэдра (с учётом знака): Пусть ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1}),\mathbf {J} _{2}(x_{2},y_{2},z_{2},t_{2}),\mathbf {J} _{3}(x_{3},y_{3},z_{3},t_{3}),\mathbf {J} _{4}(x_{4},y_{4},z_{4},t_{4}).}$ -координаты вершин тетраэдра.

Тогда

${\displaystyle V={\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&t_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&t_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&t_{3}\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&t_{4}\\\end{vmatrix}}{(x_{1}+y_{1}+z_{1}+t_{1})(x_{2}+y_{2}+z_{2}+t_{2})(x_{3}+y_{3}+z_{3}+t_{3})(x_{4}+y_{4}+z_{4}+t_{4})}}V',}$ где ${\displaystyle V'}$ -объем базисного тетраэдра.

• Координаты центра тяжести(пересечение медиан):${\displaystyle \mathbf {J} _{T}(1,1,1,1).}$

• Координаты центра вписанной сферы:${\displaystyle \mathbf {J} _{r}(S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}).}$

• Координаты центра описанной сферы:

${\displaystyle \mathbf {J} _{R}={\begin{vmatrix}0&\mathbf {J_{1}} &\mathbf {J_{2}} &\mathbf {J_{3}} &\mathbf {J_{4}} \\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{vmatrix}}.}$

• Расстояние между точками ${\displaystyle \mathbf {J} _{A}(A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}),\mathbf {J} _{B}(B_{1},B_{2},B_{3},B_{4})}$ :

Пусть ${\displaystyle C_{1}={\frac {A_{1}}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}-{\frac {B_{1}}{B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}};C_{2}={\frac {A_{2}}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}-{\frac {B_{2}}{B_{1}+B_{2}+B_{3}+B_{4}}}}$ и т. д.

Тогда расстояние между двумя точками: ${\displaystyle d^{2}=-(C_{1}C_{2}\alpha _{1,2}^{2}+C_{1}C_{3}\alpha _{1,3}^{2}+C_{1}C_{4}\alpha _{1,4}^{2}+C_{2}C_{3}\alpha _{2,3}^{2}+C_{2}C_{4}\alpha _{2,4}^{2}+C_{3}C_{4}\alpha _{3,4}^{2}).}$

Сравнение формул треугольника и тетраэдра

Площадь(Объём)
${\displaystyle S={\sqrt {-{\frac {1}{16}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1\\1&0&a^{2}&b^{2}\\1&a^{2}&0&c^{2}\\1&b^{2}&c^{2}&0\\\end{vmatrix}}}}}$	${\displaystyle V={\sqrt {{\frac {1}{288}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{vmatrix}}}}}$ ,где ${\displaystyle \alpha _{1,2}}$ -расстояние между вершинами 1 и 2
${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ah_{a}}$	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}S_{1}H_{1}}$
${\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma }$	${\displaystyle V={\frac {2}{3}}{\frac {S_{1}S_{2}}{\alpha _{3,4}}}\sin(\phi _{1,2})}$ , где ${\displaystyle \phi _{1,2}}$ -угол между гранями 1 и 2, ${\displaystyle S_{1}}$ и ${\displaystyle S_{2}}$ -площади граней противолежащие вершинам 1 и 2
Длина(площадь) биссектрисы
${\displaystyle l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}}$	${\displaystyle L_{1,2}={\frac {2S_{1}S_{2}\cos({\frac {\phi _{1,2}}{2}})}{S_{1}+S_{2}}}}$
Длина медианы
${\displaystyle m_{c}={\frac {\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{2}}}$	${\displaystyle m_{1}={\frac {\sqrt {3(\alpha _{1,2}^{2}+\alpha _{1,3}^{2}+\alpha _{1,4}^{2})-(\alpha _{2,3}^{2}+\alpha _{2,4}^{2}+\alpha _{3,4}^{2})}}{3}}}$
Радиус вписанной окружности(сферы)
${\displaystyle r={\frac {2S}{a+b+c}}}$	${\displaystyle r={\frac {3V}{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}}}$
Радиус описанной окружности(сферы)
${\displaystyle R={\frac {abc}{4S}}}$	${\displaystyle R={\frac {S_{T}}{6V}}}$ ,где ${\displaystyle S_{T}}$ площадь треугольника со сторонами ${\displaystyle \alpha _{1,2}\alpha _{3,4},\alpha _{1,3}\alpha _{2,4},\alpha _{1,4}\alpha _{2,3}}$
Теорема косинусов
${\displaystyle \cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$	${\displaystyle \cos(\phi _{1,2})={\frac {A_{1,2}}{16S_{1}S_{2}}}}$ , где ${\displaystyle \phi _{1,2}}$ -угол между гранями 1 и 2, ${\displaystyle S_{1}}$ и ${\displaystyle S_{2}}$ -площади граней противолежащие вершинам 1 и 2, ${\displaystyle A_{1,2}}$ - алгебраическое дополнение элемента ${\displaystyle \alpha _{2,1}^{2}}$ матрицы ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&\alpha _{2,1}^{2}&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{4,1}^{2}\\1&\alpha _{2,1}^{2}&0&\alpha _{3,2}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}\\1&\alpha _{3,1}^{2}&\alpha _{3,2}^{2}&0&\alpha _{4,3}^{2}\\1&\alpha _{4,1}^{2}&\alpha _{4,2}^{2}&\alpha _{4,3}^{2}&0\\\end{pmatrix}}}$
Теорема синусов
${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}}$	${\displaystyle {\frac {S_{1}}{\Psi _{1}}}={\frac {S_{2}}{\Psi _{2}}}={\frac {S_{3}}{\Psi _{3}}}={\frac {S_{4}}{\Psi _{4}}}}$ , где ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}}$ -площади граней противолежащие вершинам 1,2,3,4, ${\displaystyle \Psi ={\sqrt {\begin{vmatrix}1&-\cos(A)&-\cos(B)\\-\cos(A)&1&-\cos(C)\\-\cos(B)&-\cos(C)&1\\\end{vmatrix}}}}$ ,где ${\displaystyle A,B,C}$ -двугранные углы вершины.
Теорема о сумме углов треугольника(соотношение между двугранными углами тетраэдра)
${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }}$	${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \left(\phi _{4,1}\right)\\-\cos \left(\phi _{2,1}\right)&1&-\cos \left(\phi _{3,2}\right)&-\cos \left(\phi _{4,2}\right)\\-\cos \left(\phi _{3,1}\right)&-\cos \left(\phi _{3,2}\right)&1&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)\\-\cos \left(\phi _{4,1}\right)&-\cos \left(\phi _{4,2}\right)&-\cos \left(\phi _{4,3}\right)&1\\\end{vmatrix}}=0}$ , где ${\displaystyle \phi _{1,2}}$ -угол между гранями 1 и 2,
Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей (сфер)
${\displaystyle R^{2}-d^{2}=2Rr}$	${\displaystyle R^{2}-d^{2}={\frac {S_{1}S_{2}\alpha _{1,2}^{2}+S_{1}S_{3}\alpha _{1,3}^{2}+S_{1}S_{4}\alpha _{1,4}^{2}+S_{2}S_{3}\alpha _{2,3}^{2}+S_{2}S_{4}\alpha _{2,4}^{2}+S_{3}S_{4}\alpha _{3,4}^{2}}{(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4})^{2}}}}$ , где ${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}}$ -площади граней противолежащие вершинам 1,2,3,4. Другая запись выражения:${\displaystyle R^{2}-d^{2}=2rT,}$ где ${\displaystyle T}$ расстояние между центром описанной сферы и центром сферы, проходящая через три вершины и инцентр.

Тетраэдр в неевклидовых пространствах

Тетраэдры в микромире

• Правильный тетраэдр образуется при sp³-гибридизации атомных орбиталей (их оси направлены в вершины правильного тетраэдра, а ядро центрального атома расположено в центре описанной сферы правильного тетраэдра), поэтому немало молекул, в которых такая гибридизация центрального атома имеет место, имеют вид этого многогранника
• Молекула метана СН₄
• Ион аммония NH₄⁺
• Сульфат-ион SO₄^2-, фосфат-ион PO₄^3-, перхлорат-ион ClO₄^- и многие другие ионы
• Алмаз C — тетраэдр с ребром равным 2,5220 ангстрем
• Флюорит CaF₂, тетраэдр с ребром равным 3, 8626 ангстрем
• Сфалерит, ZnS, тетраэдр с ребром равным 3,823 ангстрем
• Оксид цинка, ZnO
• Комплексные ионы [BF₄] ^-, [ZnCl₄]^2-, [Hg(CN)₄]^2-, [Zn(NH3)₄]²⁺
• Силикаты, в основе структур которых лежит кремнекислородный тетраэдр [SiO₄]^4-

Тетраэдры в живой природе

Некоторые плоды, находясь вчетвером на одной кисти, располагаются в вершинах тетраэдра, близкого к правильному. Такая конструкция обусловлена тем, что центры четырёх одинаковых шаров, касающихся друг друга, находятся в вершинах правильного тетраэдра. Поэтому похожие на шар плоды образуют подобное взаимное расположение. Например, таким образом могут располагаться грецкие орехи.

Тетраэдры в технике

• Тетраэдр образует жёсткую, статически определимую конструкцию. Тетраэдр, выполненный из стержней, часто используется в качестве основы для пространственных несущих конструкций пролётов зданий, перекрытий, балок, ферм, мостов и т. д. Стержни испытывают только продольные нагрузки.
• Прямоугольный тетраэдр используется в оптике. Если грани, имеющие прямой угол, покрыть светоотражающим составом или весь тетраэдр выполнить из материала с сильным светопреломлением, чтобы возникал эффект полного внутреннего отражения, то свет, направленный в грань, противоположную вершине с прямыми углами, будет отражаться в том же направлении, откуда он пришёл. Это свойство используется для создания уголковых отражателей, катафотов.
• Граф четверичного триггера представляет собой тетраэдр^[8].

Тетраэдры в философии

«Платон говорил, что наименьшие частицы огня суть тетраэдры». Вернер Гейзенберг. У истоков квантовой теории. М. 2004 г. стр.107

См. также

	тетраедр в Викисловаре
	Тетраэдр на Викискладе

• Симплекс — n-мерный тетраэдр
• Тетраэдр Мейсснера
• Тетраэдр Рёло
• Треугольник

Примечания

Литература

• Матизен В. Э., Дубровский. Из геометрии тетраэдра «Квант», № 9, 1988 г. С.66.
• Заславский А. А. Сравнительная геометрия треугольника и тетраэдра // Математическое просвещение, сер. 3 (2004), № 8, стр. 78-92.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. Том 3. Треугольники и тетраэдры.,2009 г.