WikiSort.ru - Не сортированное

Вневпи́санная окружность треугольника — окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон. У любого треугольника существует три вневписанных окружности (в отличие от единственной вписанной).

Существование и единственность вневписанной окружности обусловлены тем, что биссектрисы двух внешних углов треугольника и биссектриса внутреннего угла, не смежного с этими двумя, пересекаются в одной точке, которая и является центром такой окружности.

Свойства

Здесь используются обозначения: ${\displaystyle r_{a},r_{b},r_{c}}$  — радиусы вневписанных окружностей с центрами ${\displaystyle J_{A},J_{B},J_{C}}$ , касающиеся соответственно сторон ${\displaystyle a,b,c}$ треугольника; ${\displaystyle p}$  — полупериметр треугольника; ${\displaystyle r}$  — радиус вписанной окружности; ${\displaystyle R}$  — радиус описанной окружности.

• Длина отрезка касательной, проведенной к вневписанной окружности из противоположной вершины, равна полупериметру треугольника.
• Площадь треугольника ${\displaystyle S=r_{a}(p-a)=r_{b}(p-b)=r_{c}(p-c)={\frac {r_{a}r_{b}r_{c}}{p}}={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}},}$ последнее равенство по формуле Герона.^[1]
• ${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{r_{a}}}+{\frac {1}{r_{b}}}+{\frac {1}{r_{c}}}}$
• ${\displaystyle 4R=r_{a}+r_{b}+r_{c}-r}$
• Исходный треугольник является ортотреугольником для треугольника ${\displaystyle \Delta I_{1}I_{2}I_{3}}$
• Барицентрические координаты ${\displaystyle J_{A}=(-a,b,c)}$
• Теорема Эйлера для вневписанных окружностей: ${\displaystyle OI_{i}^{2}=R^{2}+2Rr_{i}}$ , где O — центр описанной окружности.
• ${\displaystyle r_{a}r_{b}=p(p-c);rr_{a}=(p-b)(p-c)}$
• Радикальный центр вневписанных окружностей — центр Шпикера (центр вписанной окружности срединного треугольника).
• Центры вписанной и вневписанных окружностей — неподвижные точки изогонального сопряжения.
• Центр окружности, проходящей через центры вневписанных окружностей — точка Бевэна.
• Три центра трех вневписанных окружностей данного треугольника образуют треугольник трёх внешних биссектрис.
• Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведенные в точках их пересечения с тремя вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке (следствие Теорем о вершинах подерного треугольника^[2]).
• На прямой, проходящей через точки касания двух вневписанных окружностей треугольника с его сторонами, эти вневписанные окружности высекают равные отрезки.

Построение вневписанной окружности треугольника

Чтобы построить вневписанную окружность треугольника нужно^[3]:

1. Построить внешние углы для углов треугольника
2. Провести биссектрисы построенных внешних углов до точки их пересечения. Точка пересечения биссектрис будет центром вневписанной окружности.
3. Построить радиус окружности. Для этого провести перпендикуляр из точки пересечения биссектрис на продолжения одной из сторон.
4. Провести окружность с центром в точке пересечения биссектрис и радиусом, равным длине построенного перпендикуляра.

Вневписанная окружность четырехугольника

Литература

• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 44-48. — ISBN 5-94057-170-0.
• Mirko Radic, Zoran Kaliman, Vladimir Kadum. A condition that a tangential quadrilateral is also a chordal one // Mathematical Communications. — 2007. — Вып. 12.

Примечания

См. также

• Внеописанный четырёхугольник
• Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
• Вписанная окружность
• Описанная окружность
• Теорема Мансиона
• Теорема о трезубце
• Теорема Фейербаха

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.