WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Чевы — классическая теорема аффинной геометрии и геометрии треугольника. Установлена в 1678 году итальянским инженером Джованни Чевой.

Формулировка

Определим чевиану как отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне.

Три чевианы ${\displaystyle AA',BB',CC'}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ проходят через одну точку тогда и только тогда, когда:

${\displaystyle |BA'|\cdot |CB'|\cdot |AC'|=|CA'|\cdot |AB'|\cdot |BC'|}$

Вариации и обобщения

• Эту теорему можно обобщить на случай когда точки ${\displaystyle A',B',C'}$ лежат на продолжениях сторон ${\displaystyle BC,CA,AB}$ . Для этого надо воспользоваться «отношением направленных отрезков». Оно определено для двух коллинеарных направленных отрезков ${\displaystyle XY}$ и ${\displaystyle ZT}$ и обозначается ${\displaystyle {XY}/{ZT}}$
  • Пусть ${\displaystyle A',B',C'}$ лежат на прямых ${\displaystyle BC,CA,AB}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ . Прямые ${\displaystyle AA',BB',CC'}$ конкурентны (то есть параллельны или пересекаются в одной точке) тогда и только тогда, когда:

${\displaystyle {\frac {BA'}{A'C}}\cdot {\frac {CB'}{B'A}}\cdot {\frac {AC'}{C'B}}=1}$

• Тригонометрическая теорема Чевы:

  ${\displaystyle {\frac {\sin \angle BAA'}{\sin \angle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \angle ACC'}{\sin \angle C'CB}}\cdot {\frac {\sin \angle CBB'}{\sin \angle B'BA}}=1.}$

При этом углы здесь считаются ориентированными; то есть ${\displaystyle \angle XYZ}$ есть угол, на который надо повернуть прямую ${\displaystyle XY}$ против часовой стрелки, чтоб получить прямую ${\displaystyle YZ}$ .

О доказательствах

Наиболее прямое доказательство получается многократным применением теоремы Фалеса. Известны доказательства

• методом площадей,
• с помощью центров масс,
• сведение к теореме Менелая и многие другие.

Сам Чева привёл доказательство с помощью центров масс, а также ещё два геометрических доказательства.

Литература

• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
• Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“». М.: МЦНМО, 2002.
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 66—68. — ISBN 5-94057-170-0.
• Шаль, Мишель. О сочинении Чевы, под заглавием: De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio (in — 4°, Milan, 1678). // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. М., 1883.
• G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678