WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots$ (членов прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число $q$ (знаменатель прогрессии), где $b_{1}\neq 0$ , $q\neq 0$ : $b_{1},b_{2}=b_{1}q,b_{3}=b_{2}q,\ldots ,b_{n}=b_{n-1}q$ ^[1].

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

b_{n}=b_{1}q^{n-1}.

Если $b_{1}>0$ и $q>1$ , прогрессия является возрастающей последовательностью, если $0<q<1$ , — убывающей последовательностью, а при $q<0$ — знакочередующейся^[2].

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

|b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},

то есть модуль каждого члена равен среднему геометрическому его соседей.

Примеры

Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата^[3]^:8—9.

Последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая прогрессия со знаменателем 1/2.
4; 6; 9 — прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
$\pi ,\pi ,\pi ,\pi$ — геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и арифметическая прогрессия с шагом 0).
3; -6; 12; -24; 48; … — знакочередующаяся прогрессия со знаменателем -2.
1; -1; 1; -1; 1; … — знакочередующаяся прогрессия со знаменателем -1.

Свойства

Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.

Доказательство

$\log(b_{n})=\log(b_{1}q^{n-1})=\log(b_{1})+(n-1)\cdot \log(q)$ Формула общего члена арифметической прогрессии: $a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d$ .
В нашем случае
$a_{1}=\log(b_{1})$ ,
$d=\log(q)$ .

$b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}$ , если $1<i<n$ .

Доказательство

$b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}$

Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:
$P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2}}$ .

Доказательство

$P_{n}=\prod _{i=1}^{n}b_{i}=\prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}^{n}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}$ Раскроем произведение $\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}$ : $\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=q^{0}\cdot q^{1}\cdot q^{2}\cdot ...\cdot q^{i-1}=q^{0+1+2+...+(i-1)}$ Выражение $0+1+2+...+(n-1)$ представляет собой арифметическую прогрессию с $a_{1}=0$ и шагом 1. Сумма первых n членов прогрессии равна $S_{n}=n\cdot {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}=n\cdot {\frac {0+(n-1)}{2}}$ . Откуда $P_{n}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n-1))}{2}}=(b_{1}b_{1}q^{n-1})^{\frac {n}{2}}=(b_{1}b_{n})^{\frac {n}{2}}$

Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле
$P_{k,n}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}$ .

Доказательство

$P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i}}{\prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}$

Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии:
$S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}={\frac {b_{1}(1-q^{n})}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1\\\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}$

Доказательство

Через сумму:
$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-2}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n-1}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}$

То есть $\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}$ или

$(1-q)\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}-b_{1}q^{n}$ .

Откуда $\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}$
Индукцией по $n$ :
$n=1:S_{1}=\sum _{i=1}^{1}b_{i}=b_{1}=b_{1}{\frac {1-q^{1}}{1-q}}$

$n\rightarrow n+1:S_{n+1}=\sum _{i=1}^{n+1}b_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}+b_{n+1}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+b_{1}q^{n}=b_{1}({\frac {1-q^{n}}{1-q}}+q^{n})=b_{1}({\frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n+1}}{1-q}})=b_{1}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$

Если $\left|q\right|<1$ , то $b_{n}\to 0$ при $n\to +\infty$ , и
$S_{n}\to {b_{1} \over 1-q}$ при $n\to +\infty$ .

Примечания

↑ Геометрическая прогрессия на mathematics.ru
↑ Геометрическая прогрессия // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
↑ Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923.

См. также

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] Геометрическая прогрессия на mathematics.ru

[2] Геометрическая прогрессия // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

[3] Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923.