WikiSort.ru - Не сортированное

Точка Брокара — одна из двух точек внутри треугольника, возникающих на пересечении отрезков, соединяющих вершины треугольника с соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных данному треугольнику и построенных на его сторонах. Считаются замечательными точками треугольника, с их помощью строятся многие объекты геометрии треугольника (в том числе, окружность Брокара, треугольник Брокара, окружность Нейберга (см. также Нойберг, Жозеф), окружности Схоуте). Названы в честь французского метеоролога и геометра Анри Брокара, описавшего точки и их построение в 1875 году, однако были известны и ранее, в частности, были построены в одной из работ немецкого математика и архитектора Августа Крелле, изданной в 1816 году.

Определение

В треугольнике ${\displaystyle \triangle ABC}$ со сторонами ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ , и ${\displaystyle c}$ , противолежащими вершинам ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ соответственно, имеется всего одна точка ${\displaystyle P}$ такая, что отрезки прямых ${\displaystyle AP}$ , ${\displaystyle BP}$ и ${\displaystyle CP}$ образуют один и тот же угол ${\displaystyle \omega }$ со сторонами ${\displaystyle c}$ , ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ соответственно: ${\displaystyle \angle PAB=\angle PBC=\angle PCA}$ . Точка ${\displaystyle P}$ называется первой точкой Брокара треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ , а угол ${\displaystyle \omega }$  — углом Брокара треугольника.

Для угла Брокара ${\displaystyle \omega }$ выполняется следующее тождество: ${\displaystyle \mathrm {ctg} \,\omega =\mathrm {ctg} \,\angle BAC+\mathrm {ctg} \,\angle ABC+\mathrm {ctg} \,\angle ACB}$ . Для угла Брокара ${\displaystyle \omega }$ выполняется следующее неравенство Йиффа: ${\displaystyle 8\omega ^{3}\leq \alpha \beta \gamma }$ , где ${\displaystyle \alpha =\angle BAC,\beta =\angle ABC,\gamma =\angle ACB}$ — углы искомого треугольника^[1].

В треугольнике ${\displaystyle \triangle ABC}$ имеется также вторая точка Брокара ${\displaystyle Q}$ , такая, что отрезки прямых ${\displaystyle AQ}$ , ${\displaystyle BQ}$ и ${\displaystyle CQ}$ образуют один и тот же угол со сторонами ${\displaystyle b}$ , ${\displaystyle c}$ и ${\displaystyle a}$ соответственно: ${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC}$ . Вторая точка Брокара изогонально сопряжена с первой точкой Брокара, то есть угол ${\displaystyle \angle PBC=\angle PCA=\angle PAB}$ равен углу ${\displaystyle \angle QCB=\angle QBA=\angle QAC}$ .

Две точки Брокара тесно связаны друг с другом, различие между ними — в порядке, в котором нумеруются углы треугольника, так, например, первая точка Брокара треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ совпадает со второй точкой Брокара треугольника ${\displaystyle \triangle ACB}$ .

Построение

Наиболее известное построение точек Брокара — на пересечении окружностей, строящихся следующим образом: для ${\displaystyle \triangle ABC}$ проводится окружность через точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , касающаяся стороны ${\displaystyle BC}$ (центр этой окружности находится в точке, которая лежит на пересечении серединного перпендикуляра к стороне ${\displaystyle AB}$ с прямой, проходящей через ${\displaystyle B}$ и перпендикулярной ${\displaystyle BC}$ ); аналогичным образом строится окружность через точки ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ и касающуюся стороны ${\displaystyle AC}$ ; третья окружность — через точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$ и касающаяся стороны ${\displaystyle AB}$ . Эти три окружности имеют общую точку пересечения, являющуюся первой точкой Брокара треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ . Вторая точка Брокара строится аналогично — строятся окружности: через ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , касающаяся ${\displaystyle AC}$ ; через ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ , касающаяся ${\displaystyle AB}$ ; через ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle C}$ , касающаяся ${\displaystyle BC}$ .

Свойства

• Точки Брокара лежат на окружности Брокара - окружности, диаметрально построенной на отрезке, соединяющем центр описанной окружности с точкой Лемуана. На ней также лежат вершины первых двух треугольников Брокара.
• Точки Брокара сопряжены изогонально.
• Барицентрические координаты: ${\displaystyle \left({\frac {1}{b^{2}}}:{\frac {1}{c^{2}}}:{\frac {1}{a^{2}}}\right)}$ и ${\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}}:{\frac {1}{a^{2}}}:{\frac {1}{b^{2}}}\right)}$ .

См. также

• Окружность Брокара
• Треугольник Брокара

Примечания

Литература

• С. И. Зетель. Новая геометрия треугольника. — М.: Учпедгиз, 1940. — С. 81—89. — 96 с.
• Akopyan, A. V. & Zaslavsky, A. A. (2007), Geometry of Conics, vol. 26, Mathematical World, American Mathematical Society, с. 48–52, ISBN 978-0-8218-4323-9 
• Honsberger, Ross (1995), "Chapter 10. The Brocard Points", Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, Washington, D.C.: The Mathematical Association of America