То́чка Лемуа́на (точка пересечения симедиан, точка Гребе, обозначается или ) — одна из замечательных точек треугольника.
У точки Лемуана существует три равносильных определения:
Утверждение о равносильности первых двух определений называется теоремой о симедиане.
Пусть — точка пересечения касательных в вершинах и к описанной окружности, — середина стороны . Тогда, так как — поляра точки относительно описанной окружности, а — основание перпендикуляра на сторону из центра описанной окружности. Из определения поляры следует, что точки и симметричны относительно окружности. Пусть точка — середина дуги описанной окружности, не содержащей точки . Тогда , то есть прямая и медиана симметричны относительно биссектрисы . Аналогично симметричны медианам другие две прямые, построенные таким образом. Но их точка пересечения — точка Лемуана, а, значит, точка Лемуана изогонально сопряжена точке пересечения медиан и является точкой пересечения симедиан.
Шестиугольник Лемуана представляет собой шестиугольник, около которого можно описать окружность. Его вершинами являются шесть точек пересечениями сторон треугольника с тремя линиями, которые параллельны сторонам и которые проходят через его точку Лемуана. В любом треугольнике шестиугольник Лемуана находится внутри треугольника с тремя парами вершин, лежащих попарно на каждой стороне треугольника.
Лемуан доказал, что если прямые линии проходят через точку Лемуана параллельно сторонам треугольника, то шесть точек пересечения линий и сторон треугольника лежат на одной окружности, или что они лежат на окружности. [1]. Эта окружность теперь известна, как первый круг или окружность Лемуана, или просто как круг Лемуана.[2]. Иными словами, шестиугольник Лемуана, определенный выше, является вписанным в окружность Лемуана.
Впервые точку Лемуана (Lemoine Point) обнаружил (1809) швейцарский геометр и тополог Симон Антуан Жан Люилье. Этой точке было посвящено исследование (1847) Эрнста Вильгельма Гребе (Grebe), в честь которого в Германии она называлась точкой Гребе (Grebe point). Точка названа в честь французского геометра Эмиля Лемуана, опубликовавшего доказательство существования точки (1873). Росс Хонсберегер (Ross Honsberger) назвал существование точки Лемуана "одним из драгоценных камней в короне современной геометрии".[3]
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .