Кони́ческое сече́ние, или ко́ника[1], — пересечение плоскости с поверхностью кругового конуса. Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола, кроме того, существуют вырожденные сечения: точка, прямая и пара прямых. Окружность можно рассматривать как частный случай эллипса.
Конические сечения могут быть получены как пересечение плоскости с двусторонним конусом
Здесь
Если плоскость проходит через начало координат, то получается вырожденное сечение. В невырожденном случае,
Уравнение кругового конуса квадратично, стало быть, все конические сечения являются квадриками, также все квадрики плоскости являются коническими сечениями (хотя две параллельные прямые образуют вырожденную квадрику, которая не может быть получена как сечение конуса, но она может быть получена как сечение цилиндра — вырожденного конуса, и обычно считается «вырожденным коническим сечением»).
Конические сечения были известны ещё математикам Древней Греции.
Наиболее полным сочинением, посвящённым этим кривым, были «Конические сечения» Аполлония Пергского (около 200 г. до н. э.). По-видимому он первым описал фокусы эллипса и гиперболы[2]:41.
Папп Александрийский первым описал фокус параболы и вывел общее уравнение для конического сечения как геометрическое место точек, для которых отношение расстояний до точки фокуса и директрисы постоянно[2]:48.
Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом:
Выберем на плоскости точку и прямую и зададим вещественное число . Тогда геометрическое место точек, для которых расстояние до точки и до прямой отличается в раз, является коническим сечением. Точка называется фокусом конического сечения, прямая — директрисой, число — эксцентриситетом.
В зависимости от эксцентриситета, получится:
Для окружности полагают (хотя фактически при ГМТ является только точка ).
Эксцентриситет связан с параметрами конуса и расположением секущей плоскости относительно оси конуса следующим соотношением[3]:46,47:
здесь — угол наклона секущей плоскости к оси конуса, — угол между образующей и осью конуса, равный половине угла раствора конуса. Из этой формулы видно, что, пересекая данный конус плоскостью, можно получить эллипс с любым эксцентриситетом, параболу, а гиперболу можно получить лишь такую, эксцентриситет которой не превышает . Это максимальное значение достигается при сечении данного конуса плоскостью, параллельной его оси.
Некоторые важные свойства конических сечений получаются при рассмотрении двух шаров, касающихся конического сечения и конуса — шаров Данделена. Например, с их помощью устанавливается геометрический смысл фокуса, директрисы и эксцентриситета конического сечения[3]:46,47.
В декартовых координатах, конические сечения описываются общим квадратным многочленом:
Иначе говоря, конические сечения являются кривыми второго порядка. Знак дискриминанта
определяет тип конического сечения.
В полярных координатах , с центром в одном из фокусов и нулевым направлением вдоль главной оси, коническое сечение представляется уравнением
где е обозначает эксцентриситет, а l фокальный параметр.
В рамках классической механики траектория свободного движения сферических объектов в безвоздушном пространстве подчиняется одному из приложений закона обратных квадратов — закону всемирного тяготения, и вследствие этого является одной из конических кривых — параболой, гиперболой, эллипсом или прямой. Орбиты планет — эллипсы, траектории комет — эллипсы, гиперболы[4] или «почти параболические»[5] (см. также Небесная механика), траектория полёта пушечного ядра без учёта влияния воздуха — дуга эллипса (см. также Баллистика).
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .