WikiSort.ru - Не сортированное

Точка Нагеля — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями.

Обычно обозначается ${\displaystyle N}$ .

Свойства

• Точка Нагеля лежит на одной прямой с инцентром и центроидом, при этом центроид делит отрезок между точкой Нагеля и инцентром в отношении 2 : 1. Эта прямая называется прямой Нагеля (см. рисунок).
• Если точки ${\displaystyle T_{A}\in BC,\quad T_{B}\in CA,\quad T_{C}\in AB}$ таковы, что каждый из отрезков ${\displaystyle AT_{A}}$ , ${\displaystyle BT_{B}}$ и ${\displaystyle CT_{C}}$ делит периметр треугольника пополам, то эти отрезки пересекаются в одной точке — точке Нагеля.
• Точка Нагеля изотомически сопряжена точке Жергонна.
• Точка Нагеля изогонально сопряжена с центром положительной гомотетии вписанной и описанной окружности (точка Веррьера).
• Расстояние между ортоцентром ${\displaystyle H}$ и точкой Нагеля ${\displaystyle N}$ равно диаметру окружности Фурмана и равно

${\displaystyle NH=2R{\sqrt {\frac {a^{3}-a^{2}b-ab^{2}+b^{3}-a^{2}c+3abc-b^{2}c-ac^{2}+c^{3}}{abc}}}}$ .

• Половине этого расстояния равно расстояние между центром описанной окружности и инцентром^[1].
• Чевиану точки Нагеля в английской литературе иногда называют сплиттером (splitter) или делителем пополам периметра. К сплиттеру они относят и кливер треугольника.

Замечание

Точка Нагеля относится к слабым точкам. Поэтому следует говорить не об одной, а о нескольких точках Нагеля. То есть, соединение других точек касания вневписанных окружностей с вершинами треугольника дает ещё три точки Нагеля.

История

Названа по имени Христиана Генриха фон Нагеля, впервые охарактеризовавшего её в статье 1836 г.

См. также

• Вписанная окружность
• Вписанная и вневписанные в треугольник окружности
• Замечательные точки треугольника
• Описанная окружность

Примечания

Ссылки

• Точка Нагеля, живой чертёж
• М. Б. Балк, В. Г. Болтянский Геометрия масс. М.: Наука, 1987. 160 с. Тираж 145000 экз. Серия Библиотечка «Квант», выпуск 61