WikiSort.ru - Не сортированное

Направленный отрезок

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BA}$ представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным. Например, направленные отрезки ${\displaystyle AB}$ и ${\displaystyle BA}$ не совпадают. Отдельного обозначения для направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление, обычно указывается особо.

Дальнейшее обобщение приводит к понятию вектора — класса всех равных по длине и сонаправленных направленных отрезков.

Стягивающаяся система сегментов

Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой ${\displaystyle \{[a,b]|a,b\in \mathbb {R} \land a<b\}}$ .

Система сегментов обозначается ${\displaystyle \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }}$ . Подразумевается, что каждому натуральному числу ${\displaystyle n}$ поставлен в соответствие отрезок ${\displaystyle [a_{n},b_{n}]}$ .

Система сегментов ${\displaystyle \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }}$ называется стягивающейся, если^[2]

• каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;

  ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_{n},b_{n}]}$

• соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.

  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0}$

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.

${\displaystyle \forall \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }~\exists !c\in \mathbb {R} ~\forall n\in N\colon c\in [a_{n},b_{n}]}$

Этот факт следует из свойств монотонной последовательности.