WikiSort.ru - Не сортированное

Степень точки относительно окружности — величина ${\displaystyle d^{2}-R^{2}}$ , где ${\displaystyle d}$ — расстояние от точки до центра окружности, a ${\displaystyle R}$ — радиус окружности. По этому определению точки внутри круга имеют отрицательные степени, а точки вне круга имеют положительные степени, а точки на окружности имеют нулевую степень. Для точки, лежащей вне окружности, из теоремы Пифагора следует, что степень точки относительно окружности есть квадрат длины касательной, проведенных из данной точки к данной окружности. Степень точки также известна как степень окружности или степень круга относительно точки.

Свойства

• Если прямая, проходящая через точку ${\displaystyle A}$ , пересекает окружность ${\displaystyle \Gamma }$ в точках ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ , то степень ${\displaystyle A}$ относительно ${\displaystyle \Gamma }$ равна ${\displaystyle \pm AB\cdot AC}$ ; в этой формуле стоит «+» если ${\displaystyle A}$ лежит снаружи ${\displaystyle \Gamma }$ и «-» если внутри. В частности,
  • Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.
  • Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

Связанные определения

• Для двух не концентрических окружностей геометрическое место точек Р, для которых степени относительно обеих окружностей равны, является прямой, называемой радикальной осью окружностей.
• Для трёх окружностей, центры которых не лежат на одной прямой существует единственная точка, такая, что её степени относительно всех трёх окружностей равны. Эта точка называется радикальным центром трёх окружностей.
• Со степенью точки относительно окружности тесно связано понятие Инверсное расстояние.

История

Термин «степень» в этом значении был впервые употреблён Штейнером.

Вариации и обобщения

• Аналогично определяется степень точки относительно сферы в ${\displaystyle n}$ -мерном евклидовом пространстве.

Литература

• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
• Я. П. Понарин. §3.1 Степень точки относительно сферы // Элементарная геометрия. — М.: МЦНМО, 2006. — Т. 2. — С. 146. — 256 с. — 2000 экз. — ISBN 5-94057-223-5.

Ссылки

• На Викискладе есть медиафайлы по теме Степень точки относительно окружности

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.