Проективная пло́скость — двумерное проективное пространство. Важным частным случаем является вещественная проективная плоскость.
Проективная плоскость отличается важной ролью, которую играет так называемая аксиома Дезарга, в проективных пространствах больших размерностей являющаяся теоремой.
Проективная плоскость над телом это множество одномерных подпространств (прямых, проходящих через ноль) трёхмерного линейного пространства . Данные прямые называются точками проективной плоскости. Проективная плоскость над телом обычно обозначается , например , , и так далее.
Классическая проективная плоскость П определяется следующими аксиомами. Первые четыре из них являются обязательными.
Дополнительными аксиомами являются следующие:
Представим вещественную проективную плоскость P²(R) как множество прямых в R³ . Её точки образуют пучок всех прямых, проходящих через начало координат. Построим единичную сферу. Тогда каждая наша прямая (точка P²(R)) пересекает сферу в двух противоположных точках: x и -x. Из этого легко получается другая модель. Отбросим верхнюю полусферу z > 0. Каждой точке на отброшенной полусфере соответствует точка на нижней полусфере, а диаметрально противоположные точки на экваториальной окружности нижней полусферы отождествляются. «Выпрямляя» полусферу получаем круг, у которого отождествлены диаметрально противоположные точки граничной окружности. Круг гомеоморфен квадрату, противоположные стороны которого отождествляются (в направлении стрелок). Как показано на следующем рисунке этот квадрат гомеоморфен кругу D² с приклеенным листом Мёбиуса μ. Поэтому проективная плоскость неориентируема.
Цикл(полуокружность) от до (обозначим его как ) не является границей, однако полная окружность от до и от до (обозначим его как ) уже ограничивает всю «внутреннюю» часть проективной плоскости, поэтому 2 ≈0, а ≠0 (знак равенства означает гомологичен или нет цикл нулю), то есть любой негомологичный нулю цикл гомологичен циклу . Поэтому одномерная группа гомологий состоит из двух элементов H1(P²)={0,1}, где нулевому элементу группы соответствуют одномерные циклы гомологичные нулю, а единице все циклы гомологичные .
Группы гомологий проективной плоскости легко вычисляются: H0(P²) =Z , H1(P²)={0,1} и H2(P²)=0 , числа Бетти (ранги групп гомологий) равны соответственно b0=1, b1=1, b2=0 и эйлерова характеристика равна знакочередующейся сумме χ(P²)=b0-b1+b2=1 Можно вычислить эйлерову характеристику и непосредственно из триангуляции χ(P²) (см. нижний рисунок) — число вершин равно 6, ребер 15 и граней 10, значит χ(P²)=6-15+10=1.
Согласно известной теореме о классификации поверхностей среди всех компактных, связных, замкнутых гладких многообразий проективная плоскость однозначно определяется тем, что она неориентируема и её эйлерова характеристика равна 1.
Фундаментальная группа π1(P²)= Z2, высшие гомотопические группы соответствуют таковым для сферы πn(P²)=πn(S²) для n≥2.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .