WikiSort.ru - Не сортированное

Центр вписанной окружности треугольника (инцентр) — одна из замечательных точек треугольника, точка пересечения биссектрис треугольника. Центр вписанной в треугольник окружности также иногда называют инцентром.

Традиционно обозначается латинской буквой ${\displaystyle I}$ (по первой букве английского слова "Incenter"). В энциклопедии центров треугольника зарегистрирован под символом ${\displaystyle X(1)}$ .

Свойства

• Центр вписанной окружности треугольника находится на одинаковом расстоянии от всех сторон треугольника. Для треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ со сторонами ${\displaystyle a}$ , ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ , противолежащими вершинам ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ соответственно, инцентр делит биссектрису угла ${\displaystyle A}$ в отношении:

${\displaystyle {\frac {b+c}{a}}}$ .

Если продолжение биссектрисы угла ${\displaystyle B}$ пересекает описанную окружность ${\displaystyle \triangle ABC}$ в точке ${\displaystyle D}$ , то выполняется равенство: ${\displaystyle DA=DC=DI=DJ}$ , где ${\displaystyle J}$  — центр вневписанной окружности, касающейся стороны ${\displaystyle AC}$ ; это свойство инцентра известно как теорема трилистника (также — лемма о трезубце, теорема Клайнэра).

• Расстояние между инцентром ${\displaystyle I}$ и центром описанной окружности ${\displaystyle O}$ выражается формулой Эйлера:

${\displaystyle OI^{2}=R^{2}-2Rr}$ ,

где ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle r}$  — радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.

• Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности^[1].

См. также

• Ортоцентр
• Центроид
• Формула Эйлера
• Лемма о трезубце

Примечания

Литература

• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 88-90. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3.