WikiSort.ru - Не сортированное

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 25 июля 2016 года.

Соприкаса́ющаяся окру́жность, окру́жность кривизны́ — окружность, являющаяся наилучшим приближением заданной кривой в окрестности данной точки. В этой точке кривая и означенная окружность имеют касание, порядок которого не ниже 2. Окружность кривизны существует в каждой точке дважды дифференцируемой кривой с отличной от нуля кривизной; в случае нулевой кривизны в качестве соприкасающейся надлежит рассматривать касательную прямую — «окружность бесконечного радиуса».

Соприкасающаяся окружность (или прямая) в точке ${\displaystyle P}$ кривой также может быть определена как предельное положение окружности (или прямой), проходящей через ${\displaystyle P}$ и две близкие к ней точки ${\displaystyle P_{1},\ P_{2}}$ , когда ${\displaystyle P_{1},\ P_{2}}$ стремятся к ${\displaystyle P}$ .

Связанные определения

Центр соприкасающейся окружности называют центром кривизны, а радиус — радиусом кривизны. Радиус кривизны является величиной, обратной кривизне кривой в заданной точке:

${\displaystyle r^{-1}=k}$

Центр соприкасающейся окружности всегда лежит на главной нормали кривой; отсюда следует, что эта нормаль всегда направлена в сторону вогнутости кривой.

Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой.

История

Понятие соприкасающейся окружности (лат. circulum osculans) было введено Лейбницем. Соответствующая геометрическая конструкция содержатся также в книге «Математические начала натуральной философии» Исаака Ньютона.

Вариации и обобщения

• Соприкасающаяся сфера пространственной кривой ${\displaystyle \gamma }$ есть сфера ${\displaystyle \Sigma _{s}}$ с центром в точке

  ${\displaystyle p(s)=\gamma (s)+{\tfrac {1}{k(s)}}\cdot \nu (s)+{\tfrac {k'(s)}{k^{2}(s)\cdot \varkappa (s)}}\cdot \beta (s)}$

проходящая через ${\displaystyle \gamma (s)}$ . Здесь ${\displaystyle k(s)}$ и ${\displaystyle \varkappa (s)}$ обозначают кривизну и кручение кривой, ${\displaystyle \tau }$ , ${\displaystyle \nu }$ , ${\displaystyle \beta }$ — трёхгранник Френе.

• В случае если кривизна и кручение кривой отличны от нуля соприкасающаяся сфера определена и является единственной сферой с которой кривая имеет степень соприкосновения хотябы 3.

Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.