WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема о бабочке — классическая теорема планиметрии.

История

Опубликована в 1815 году в английском мужском журнале «Gentleman's Diary» (англ.). Её авторство приписывают Уильяму Джорджу Горнеру.

Формулировка

Пусть через точку М, являющуюся серединой хорды PQ некоторой окружности, проведены две произвольные хорды АВ и CD той же окружности. Пусть хорды AD и ВС пересекают хорду PQ в точках X и Y. Тогда М является серединой отрезка XY.

О доказательствах

Теорема о бабочке имеет большое число различных доказательств, как в рамках элементарной геометрии, так и использующих методы, выходящие за её пределы.

• В частности, в проективной модели плоскости Лобачевского, треугольник ${\displaystyle \triangle AMD}$ центрально симметричен ${\displaystyle \triangle BMC}$ и отсюда легко следует теорема.

• При помощи проецирования двойных отношений: Рассмотрим двойное отношение точек ${\displaystyle (P,M,X,Q)}$ , и спроецируем его на окружность из точки ${\displaystyle A}$ . Точки ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ перейдут сами в себя, так как принадлежат окружности, а точки ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle X}$ перейдут в точки ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle D}$ соответственно. Получаем ${\displaystyle (P,M,X,Q)=(P,B,D,Q)}$ (последнее следует трактовать как двойное отношение точек на комплексной плоскости). Проецируем обратно на прямую ${\displaystyle PQ}$ с центром в точке ${\displaystyle C}$ , получаем ${\displaystyle (P,M,X,Q)=(P,Y,M,Q)}$ . Распишем двойное отношение по определению, получим необходимое равенство.

Вариации и обобщения

• Обобщение Шарыгина^[1]: Пусть на окружности дана хорда AB, на ней — точки M и N, причём AM = BN. Через точки M и N проведены хорды PQ и RS, соответственно. Прямые QS и RP пересекают хорду AB в точках K и L, тогда AK = BL.

Ссылки

• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
• Ченцов Н. Н., Шклярский Д. О., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Геометрия (планиметрия). — М.: Гостехиздат, 1952.

Примечания