WikiSort.ru - Не сортированное

Центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма, лежат в вершинах квадрата.

Если на каждой из двух соседних сторон квадрата построить по равностороннему треугольнику (либо оба внутрь, либо оба вовне квадрата), то вершины этих 2 треугольников, не являющиеся вершинами квадрата, и вершина квадрата, не являющаяся вершиной треугольников, образуют равносторонний треугольник.

Пусть ${\displaystyle ABC}$  — произвольный треугольник, ${\displaystyle D}$  — произвольная точка на стороне ${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle I_{1}}$  — центр окружности, касающейся отрезков ${\displaystyle AD,BD}$ и описанной около ${\displaystyle \Delta ABC}$ окружности, ${\displaystyle I_{2}}$  — центр окружности, касающейся отрезков ${\displaystyle CD,AD}$ и описанной около ${\displaystyle \Delta ABC}$ окружности. Тогда отрезок ${\displaystyle I_{1}I_{2}}$ проходит через точку ${\displaystyle I}$  — центр окружности, вписанной в ${\displaystyle \Delta ABC}$ , и при этом ${\displaystyle I_{1}I:II_{2}=\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\phi }{2}}}$ , где ${\displaystyle \phi =\angle BDA}$ .

Теорема^{[1][нет в источнике]}. Если во вписанном в окружность четырехугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центры четырех образовавшихся окружностей являются вершинами прямоугольника.