WikiSort.ru - Не сортированное

Координаты

Пусть ${\displaystyle x_{C}}$ и ${\displaystyle y_{C}}$  — координаты центра, а ${\displaystyle R}$  — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, ${\displaystyle {\phi }_{0}}$  — угловая координата первой вершины, тогда декартовы координаты вершин правильного n-угольника определяются формулами:

${\displaystyle x_{i}=x_{C}+R\cos \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}$

${\displaystyle y_{i}=y_{C}+R\sin \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}$

где ${\displaystyle i=0\dots n-1}$

Размеры

Пусть ${\displaystyle R}$  — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен

${\displaystyle r=R\cos {\frac {\pi }{n}}}$ ,

а длина стороны многоугольника равна

${\displaystyle a=2R\sin {\frac {\pi }{n}}=2r\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}$

Площадь

Площадь правильного многоугольника с числом сторон ${\displaystyle n}$ и длиной стороны ${\displaystyle a}$ составляет:

${\displaystyle S={\frac {n}{4}}\ a^{2}\mathop {\mathrm {} } \,\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}}$ .

Площадь правильного многоугольника с числом сторон ${\displaystyle n}$ , вписанного в окружность радиуса ${\displaystyle R}$ , составляет:

${\displaystyle S={\frac {n}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}}$ .

Площадь правильного многоугольника с числом сторон ${\displaystyle n}$ , описанного вокруг окружности радиуса ${\displaystyle r}$ , составляет:

${\displaystyle S=nr^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}$ (площадь основания n-угольной правильной призмы)

Площадь правильного многоугольника с числом сторон ${\displaystyle n}$ равна

${\displaystyle S={\frac {nra}{2}}}$ ,

где ${\displaystyle r}$  — расстояние от середины стороны до центра, ${\displaystyle a}$  — длина стороны.

Площадь правильного многоугольника через периметр (${\displaystyle P}$ ) и радиус вписанной окружности (${\displaystyle r}$ ) составляет:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}Pr}$ .

Периметр

Если нужно вычислить длину стороны ${\displaystyle a_{n}}$ правильного n-угольника, вписанного в окружность, зная длину окружности ${\displaystyle L}$ можно вычислить длину одной стороны многоугольника:

${\displaystyle a_{n}}$  — длина стороны правильного n-угольника.

${\displaystyle a_{n}=\sin {\frac {180}{n}}\cdot {\frac {L}{\pi }}}$

Периметр ${\displaystyle P_{n}}$ равен

${\displaystyle P_{n}=a_{n}\cdot n}$

где ${\displaystyle n}$ — число сторон многоугольника.