WikiSort.ru - Не сортированное

Окружность девяти точек — это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника.

Она также называется окружностью Эйлера, окружностью Фейербаха, окружностью шести точек, окружностью Теркема, окружностью двенадцати точек, включая точки Фейербаха , окружностью n-точек, полуописанной окружностью.

Теорема-определение

Окружность девяти точек получила такое название из-за следующей теоремы:

• Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.

Иначе говоря, окружность девяти точек является описанной окружностью для следующих трёх треугольников:

• ортотреугольник,
• дополнительный треугольник,
• треугольник Эйлера (или треугольник Фейербаха, треугольник Эйлера — Фейербаха) — треугольник, вершинами которого служат середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр и вершины.

Доказательство теоремы

Доказательство теоремы есть в разделе Лемма о трезубце

Свойства

• Центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера, точно в середине отрезка между ортоцентром и центром описанной окружности.
• Из девяти точек на окружности Эйлера три являются серединами отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром (вершины треугольника Эйлера-Фейербаха). Эти три точки являются отражениями середин сторон треугольника относительно центра окружности девяти точек.
• Таким образом, центр девяти точек служит центром симметрии, переводящей серединный треугольник в треугольник Эйлера-Фейербаха (и наоборот) ^[1].
• Радиус окружности девяти точек равен половине радиуса описанной окружности.
• Описанная окружность есть образ окружности девяти точек относительно гомотетии с центром в ортоцентре и коэффициентом 2.

• Последнее свойство гомотетичности (подобия) означает, что окружность девяти точек делит пополам любой отрезок, который соединяет ортоцентр с произвольной точкой, лежащей на описанной окружности.
• Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника.^[2]
• Теорема Мавло.^[3]: треугольник на своей окружности девяти точек отсекает внешним образом три дуги таким образом, что длина наибольшей из них равна сумме длин двух оставшихся дуг. Например, на рисунке выше теорема Мавло дает равенство: дуга IF=дуга HE+дуга GD.

• В симметричном виде теорема Мавло может быть записана в виде:

  ${\displaystyle \smallsmile IF+\smallsmile HE+\smallsmile GD=2\max\{\smallsmile IF,\smallsmile HE,\smallsmile GD\}.}$

Это эквивалентно тому, что наибольшая из трех дуг равна сумме двух других.

• Последнее свойство — аналог свойств для расстояний ${\displaystyle x}$ , ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle z}$ от вершин дополнительного треугольника (треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника). до точки Фейербаха, а не для дуг. Аналогичное соотношение также встречается в теореме Помпею.

• Теорема Гамильтона. Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих ту же самую окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник.

• На описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$ существуют ровно три точки, таких что их прямая Симсона касается окружности Эйлера треугольника ${\displaystyle ABC}$ , причем эти точки образуют правильный треугольник. Стороны этого треугольника параллельны сторонам треугольника Морлея.

• Если описанная около треугольника гипербола проходит через точку пересечения высот, то она равносторонняя (то есть её асимптоты перпендикулярны)^[4]. Точка пересечения асимптот равносторонней гиперболы лежит на окружности девяти точек^[4].

Частные случаи взаимного расположения окружности девяти точек и описанной окружности

В треугольнике по отношению к описанной окружности окружность девяти точек (или окружность Эйлера) может располагаться следующим образом:

• Она касается описанной окружности в единственном случае, если треугольник прямоугольный. При этом касание двух окружностей идет в вершине прямого угла треугольника.
• Она целиком лежит внутри описанной окружности, если треугольник остроугольный.
• Она пересекает описанную окружность в двух разных точках, если треугольник тупоугольный.

История

Эйлер в 1765 году доказал, что основания высот и середины сторон лежат на одной окружности (отсюда название «окружность шести точек»). Первое полное доказательство общего результата было, по-видимому, опубликовано Карлом Фейербахом в 1822 году (вместе с теоремой, носящей его имя), но есть указания на то, что оно было известно и ранее^[2].

Вариации и обобщения

• Четыре окружности девяти точек треугольников внутри четырёхугольника. Известна теорема: В произвольном выпуклом четырёхугольнике ${\displaystyle ABCD}$ окружности девяти точек треугольников ${\displaystyle ABC,BCD,CDA,DAB}$ , на которые его разбивают две диагонали, пересекаются в одной точке^[5].
• Известна теорема: Если в выпуклом четырёхугольнике перпендикулярны диагонали, то на одной окружности (окружность восьми точек четырёхугольника) лежат восемь точек: середины сторон и проекции середин сторон на противоположные стороны^[6].

• Окружность девяти точек является частным случаем коники девяти точек. Если точка P — ортоцентр треугольника ABC, то коника девяти точек полного четырёхугольника PABC становится окружностью девяти точек.

• 16 окружностей Фейербаха, которых касается окружность 9 точек. На рисунке справа зелёным цветом показаны 16 известных окружностей Фейербаха, которые касаются окружности 9 точек, показанной красным цветом (сам треугольник показан чёрным цветом)

См. также

• Геометрия треугольника
• Глоссарий планиметрии
• Замечательные точки треугольника
• Окружность
• Отрезки и окружности, связанные с треугольником
• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
• Треугольник
• Центр девяти точек
• Энциклопедия центров треугольника

Примечания

Литература

• Шарыгин И., Ягубьянц А. Окружность девяти точек и прямая Эйлера (рус.) // Квант. — 1981. — № 8. — С. 34—37.
• Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год
• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 48-50. — ISBN 5-94057-170-0.
• Feuerbach, Karl (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figurenнем. 
• Мавло Д. П. Красивые свойства замечательных тел//Математика в школi. № 3, 2004. с. 265—269.
• Dekov. Nine-point center // Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry. — 2007.

Ссылки

• Живой чертёж