WikiSort.ru - Не сортированное

Прямая Симсона — прямая, проходящая через основания перпендикуляров на стороны треугольника из точки на его описанной окружности. Её существование опирается на теорему Симсона.

Теорема Симсона

Основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки ${\displaystyle P}$ описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$ на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона.

Верно и обратное утверждение: если основания перпендикуляров, опущенные из точки ${\displaystyle P}$ на стороны треугольника ${\displaystyle ABC}$ или их продолжения, лежат на одной прямой, то точка ${\displaystyle P}$ лежит на описанной окружности треугольника.

История

Открытие этой прямой долго приписывалось Роберту Симсону (1687—1768), но в действительности она была открыта лишь в 1797 году шотландским математиком Уильямом Уоллесом. Поэтому наряду с традиционным названием этой прямой часто используется исторически более справедливое название прямая Уоллеса.

Свойства

• Пусть ${\displaystyle H}$  — ортоцентр треугольника ${\displaystyle ABC}$ . Тогда прямая Симсона произвольной точки ${\displaystyle P}$ делит отрезок ${\displaystyle PH}$ пополам.
• На описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$ существуют ровно три точки, таких что их прямая Симсона касается окружности Эйлера треугольника ${\displaystyle ABC}$ , причем эти точки образуют правильный треугольник. Стороны этого треугольника параллельны сторонам треугольника Морлея.
• Прямые Симсона диаметрально противоположных точек описанной окружности перпендикулярны.

Вариации и обобщения

• Если из данной точки ${\displaystyle P}$ описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$ провести прямые под данным ориентированным углом к сторонам, то три полученных точки пересечения будут лежать на одной прямой.
• Прямую Симсона можно определить для любого вписанного ${\displaystyle n}$ -угольника по индукции следующим образом: прямой Симсона точки ${\displaystyle P}$ относительно данного ${\displaystyle n}$ -угольника назовем прямую, содержащую проекции точки ${\displaystyle P}$ на прямые Симсона всех ${\displaystyle (n-1)}$ -угольников, полученных выбрасыванием одной вершины ${\displaystyle n}$ -угольника.
• Теорема Сальмона
• Подерный треугольник

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.