WikiSort.ru - Не сортированное

Поде́рный (также педальный треугольник и треугольник проекций^[1]) точки ${\displaystyle P}$ относительно ${\displaystyle \triangle ABC}$  — это треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из точки ${\displaystyle P}$ на стороны треугольника ${\displaystyle ABC}$ (или их продолжения).

Связанные определения

• Описанную окружность подерного треугольника называют подерной или педальной окружностью.
• Треугольник с вершинами во вторых точках пересечения трех прямых, проведённых через вершины подерного треугольника и данную точку ${\displaystyle P}$ , с описанной окружностью, называют окружностно-чевианным треугольником.

Свойства

• Подерный треугольник точки ${\displaystyle P}$ вырождается в прямую тогда и только тогда, когда ${\displaystyle P}$ находится на описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$ . В этом случае прямая, содержащая подерный треугольник, называется прямой Симсона.
• Подерные окружности двух изогонально сопряженных точек совпадают^[2]. В частности, подерной окружностью ортоцентра и центра описанной окружности является окружность Эйлера.
• Две точки треугольника изогонально сопряжены тогда и только тогда, когда произведения трех их расстояний до трех сторон треугольника равны^[2].

• Окружностно-чевианный треугольник точки подобен её подерному треугольнику.^[3].

• Вершины подерного треугольника разделяют три стороны исходного треугольника на шесть отрезков так, что сумма квадратов трех из них, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов трех других, также не имеющих общих концов^[4].
  • Верно и обратное: Если на трех сторонах исходного треугольника выбраны три точки так, что они разделяют стороны на шесть отрезков, при этом сумма квадратов трех из них, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов трех других, также не имеющих общих концов, тогда это три точки являются вершинами некоторого подерного треугольника^[5]. В частности:
    • Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (в ортоцентре)
    • Три срединных перпендикуляра (медиатрисы) к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (в центре описанной окружности)
    • Три перпендикуляра к сторонам треугольника, проведенные в точках их пересечения с тремя вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке.

См. также

• Глоссарий планиметрии

Примечания

Литература

• Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. — 2-е издание. — М.: Учпедгиз, 1962.

Ссылки

• Некоторые задачи и теоремы о подерном треугольнике