WikiSort.ru - Не сортированное

Пятиячейник
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) пятиячейника в трёхмерное пространство
Тип	Правильный четырёхмерный политоп
Символ Шлефли	{3,3,3}
Ячеек	5
Граней	10
Рёбер	10
Вершин	5
Вершинная фигура	Правильный тетраэдр
Двойственный политоп	Он же (самодвойственный)

Пра́вильный пятияче́йник, или просто пятияче́йник^[1], или пентахор (от др.-греч. πέντε — «пять» и χώρος — «место, пространство»), — один из правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве: правильный четырёхмерный симплекс.

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов^[2]. Символ Шлефли пятиячейника — {3,3,3}.

Двойственен сам себе. В отличие от пяти других правильных многоячейников, не имеет центральной симметрии.

Используется в физико-химическом анализе для изучения свойств многокомпонентных систем^[3].

Описание

Ограничен 5 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами. Любые две ячейки — смежные; угол между ними равен ${\displaystyle \arccos \,{\frac {1}{4}}\approx 75,52^{\circ }.}$

Его 10 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 10 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.

Имеет 5 вершин. В каждой вершине сходятся по 4 ребра, по 6 граней и по 4 ячейки. Любые 2 вершины соединены ребром; любые 3 вершины принадлежат одной грани; любые 4 вершины принадлежат одной ячейке.

Пятиячейник можно рассматривать как правильную четырёхмерную пирамиду с тетраэдрическим основанием.

В координатах

Ортогональные проекции на плоскость

Метрические характеристики

Если пятиячейник имеет ребро длины ${\displaystyle a,}$ то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

${\displaystyle V_{4}={\frac {\sqrt {5}}{96}}\;a^{4}\ \approx 0,0232924a^{4},}$

${\displaystyle S_{3}={\frac {5{\sqrt {2}}}{12}}\;a^{3}\approx 0,5892557a^{3}.}$

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {10}}{5}}\;a\approx 0,6324555a,}$

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho _{1}={\frac {\sqrt {15}}{10}}\;a\approx 0,3872983a,}$

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

${\displaystyle \rho _{2}={\frac {\sqrt {15}}{15}}\;a\approx 0,2581989a,}$

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {10}}{20}}\;a\approx 0,1581139a.}$

Неправильные пятиячейники

Иногда словом «пятиячейник» может обозначаться не только правильный, но и произвольный четырёхмерный симплекс.

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Пятиячейник (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

	Пятиячейник на Викискладе