WikiSort.ru - Не сортированное

Размерность 4

Существует 6 правильных четырёхмерных многогранников (многоячейников):

Название	Изображение (диаграмма Шлегеля)	Символ Шлефли	Ячейка	Число ячеек	Число граней	Число рёбер	Число вершин
Пятиячейник		{3,3,3}	правильный тетраэдр	5	10	10	5
Тессеракт		{4,3,3}	куб	8	24	32	16
Шестнадцатиячейник		{3,3,4}	правильный тетраэдр	16	32	24	8
Двадцатичетырёхячейник		{3,4,3}	октаэдр	24	96	96	24
Стодвадцатиячейник		{5,3,3}	додекаэдр	120	720	1200	600
Шестисотячейник		{3,3,5}	правильный тетраэдр	600	1200	720	120

Размерности 5 и выше

В каждой из более высоких размерностей существует по 3 правильных многогранника (политопа):

Углы

Двугранный угол между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника, заданного своим символом Шлефли ${\displaystyle \{p_{1},p_{2},p_{3},\dots ,p_{N-3},p_{N-2},p_{N-1}\}}$ , определяется по формуле^[1][2][3]:

${\displaystyle \sin ^{2}\beta ={\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{n-1}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{n-2}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{n-3}}}}{\frac {\ddots }{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{3}}}}{1-{\frac {\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{2}}}}{1-\cos ^{2}{\frac {\pi }{p_{1}}}}}}}}}}}}}}}$

где ${\displaystyle \beta }$ — половина угла между (n-1)-мерными смежными гранями правильного n-мерного многогранника

Радиусы, объёмы

Радиус вписанной N-мерной сферы:

${\displaystyle r_{N}=r_{N-1}\operatorname {tg} {\beta },}$

где ${\displaystyle r_{N-1}}$ — радиус вписанной (N-1)-мерной сферы грани.

Объём N-мерного многогранника:

${\displaystyle V_{N}={\frac {1}{N}}V_{N-1}A_{N-1}r_{N},}$

где ${\displaystyle V_{N-1}}$ — объём (N-1)-мерной грани, ${\displaystyle A_{N-1}}$ — количество (N-1)-мерных граней.

Замощения