В геометрии архиме́дово те́ло (архиме́дов многогра́нник) — это высоко симметричный полуправильный выпуклый многогранник, имеющий в качестве граней два или более типов правильных многоугольников, примыкающих к идентичным вершинам. Они отличаются от платоновых тел (правильных многогранников), которые состоят только из одного типа многоугольников в одинаковых вершинах, и от многогранников Джонсона, правильные многоугольные грани которого принадлежат различным типам вершин.
Здесь «идентичные вершины» означают, что для любых двух вершин существует изометрия всего тела, переводящая одну вершину в другую. Иногда только требуется, чтобы грани, прилегающие к одной вершине, были изометричными граням при другой вершине. Эта разница в определениях определяет, считается ли удлинённый квадратный гирокупол (псевдоромбокубооктаэдр) архимедовым телом или многогранником Джонсона — это единственный выпуклый многогранник, в котором многоугольные грани примыкают к вершине одним и тем же способом в каждой вершине, но многогранник не имеет глобальную симметрию, которая бы переводила любую вершину в любую другую. Основываясь на существовании псевдоромбокубооктаэдра, Грюнбаум[1] предложил терминологическое различие, в котором архимедово тело определяется как имеющее одну и ту же вершинную фигуру в каждой вершине (включая удлинённый квадратный гирокупол), в то время как однородный многогранник[en] определяется как тело, у которого любая вершина симметрична любой другой (что исключает гиробикупол).
Призмы и антипризмы, группами симметрий которых являются диэдрические группы, обычно не считаются архимедовыми телами, несмотря на то, что они подпадают под определение, данное выше. С этим ограничением существует только конечное число архимедовых тел. Все тела, кроме удлинённого квадратного гирокупола, можно получить построениями Витхоффа из платоновых тел с помощью тетраэдральной, октаэдральной[en] и икосаэдральной[en] симметрий.
Источник названия
Архимедовы тела названы по имени Архимеда, обсуждавшего их в ныне потерянной работе. Папп ссылается на эту работу и утверждает, что Архимед перечислил 13 многогранников[1]. Во времена Возрождения художники и математики ценили чистые формы и переоткрыли их все. Эти исследования были почти полностью закончены около 1620 года Иоганном Кеплером[2], который определил понятия призм, антипризм и невыпуклых тел, известных как тела Кеплера — Пуансо.
Кеплер, возможно, нашёл также удлинённый квадратный гиробикупол (псевдоромбоикосаэдр) — по меньшей мере, он утверждал, что имеется 14 архимедовых тел. Однако его опубликованные перечисления включают только 13 однородных многогранников, и первое ясное утверждение о существовании псевдоромбоикосаэдра было сделано в 1905 Дунканом Соммервилем[en][1].
Классификация
Существует 13 архимедовых тел (не считая удлинённого квадратного гирокупола; 15, если учитывать зеркальные отражения двух энантиоморфов, которые ниже перечислены отдельно).
Здесь вершинная конфигурация относится к типам правильных многоугольников, которые примыкают к вершине. Например, вершинная конфигурация (4,6,8) означает, что квадрат, шестиугольник и восьмиугольник встречаются в вершине (порядок перечисления берётся по часовой стрелке относительно вершины).
| Название (Альтернативное название) |
Шлефли Коксетер |
Прозрачный | Непрозрачный | Развёртка | Вершинная фигура |
Граней | Рёбер | Вершин | Объём (при единич- ном ребре) |
Группа точек | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Усечённый тетраэдр | {3,3}   |
 (Вращение) |
 |
 |
3.6.6 |
8 | 4 треугольника 4 шестиугольника |
18 | 12 | 2.710576 | Td |
| Кубооктаэдр (ромботетраэдр) | r{4,3} или rr{3,3} |
 (Вращение) |
 |
 |
3.4.3.4 |
14 | 8 Треугольников 6 квадратов |
24 | 12 | 2.357023 | Oh |
| Усечённый куб | t{4,3} |
 (Вращение) |
 |
 |
3.8.8 |
14 | 8 треугольников 6 восьмиугольников |
36 | 24 | 13.599663 | Oh |
| Усечённый октаэдр (усечённый тетратераэдр) | t{3,4} или tr{3,3} |
 (Вращение) |
 |
 |
4.6.6 |
14 | 6 квадратов 8 шестиугольников |
36 | 24 | 11.313709 | Oh |
| Ромбокубооктаэдр (малый ромбокубооктаэдр) | rr{4,3} |
 (Вращение) |
 |
 |
3.4.4.4 |
26 | 8 треугольников 18 квадратов |
48 | 24 | 8.714045 | Oh |
| Усечённый кубооктаэдр (большой ромбокубооктаэдр) | tr{4,3} |
 (Вращение) |
 |
 |
4.6.8 |
26 | 12 квадратов 8 шестиугольников 6 восьмиугольников |
72 | 48 | 41.798990 | Oh |
| Плосконосый куб (плосконосый кубоктаэдр) | sr{4,3} |
 (Вращение) |
 |
 |
3.3.3.3.4 |
38 | 32 треугольника 6 квадратов |
60 | 24 | 7.889295 | O |
| Икосододекаэдр | r{5,3} |
 (Вращение) |
 |
 |
3.5.3.5 |
32 | 20 треугольников 12 пятиугольников |
60 | 30 | 13.835526 | Ih |
| Усечённый додекаэдр | t{5,3} |
 (Вращение) |
 |
 |
3.10.10 |
32 | 20 треугольников 12 десятиугольников |
90 | 60 | 85.039665 | Ih |
| Усечённый икосаэдр | t{3,5} |
 (Вращение) |
 |
 |
5.6.6 |
32 | 12 пятиугольников 20 шестиугольников |
90 | 60 | 55.287731 | Ih |
| Ромбоикосододекаэдр (малый ромбоикосододекаэдр) | rr{5,3} |
 (Вращение) |
 |
 |
3.4.5.4 |
62 | 20 треугольников 30 квадратов 12 пятиугольников |
120 | 60 | 41.615324 | Ih |
| Ромбоусечённый икосододекаэдр | tr{5,3} |
 (Вращение) |
 |
 |
4.6.10 |
62 | 30 квадратов 20 шестиугольников 12 десятиугольников |
180 | 120 | 206.803399 | Ih |
| Плосконосый додекаэдр (плосконосый икосододекаэдр) | sr{5,3} |
 (Вращение) |
 |
 |
3.3.3.3.5 |
92 | 80 треугольников 12 пятиугольников |
150 | 60 | 37.616650 | I |
Некоторые определения полуправильных многогранников включают ещё одно тело — удлинённый квадратный гирокупол или «псевдоромбокубооктаэдр»[3].
Свойства
Число вершин равно отношению 720° к угловому дефекту при вершине.
Кубоктаэдр и икосододекаэдр являются рёберно однородными[en] и называются квазиправильными.
Двойственные многогранники архимедовых тел называются каталановыми телами. Вместе с бипирамидами и трапецоэдрами они являются однородными по граням[en] телами с правильными вершинами.
Хиральность
Плосконосый куб и плосконосый додекаэдр хиральны, поскольку они появляются в левостороннем и правостороннем вариантах. Если что-то имеет несколько видов, которые являются трёхмерным зеркальным отражением друг друга, эти формы называют энантиоморфами (это название применяется также для некоторых форм химических соединений).
Построение архимедовых тел
Различные архимедовы и платоновы тела могут быть получены друг из друга с помощью пригоршни операций. Начиная с платоновых тел можно использовать операцию усечения углов. Для сохранения симметрии усечение делается плоскостью, перпендикулярной прямой, соединяющей угол с центром многоугольника. В зависимости от того, насколько глубоко проводится усечение (см. таблицу ниже), получим различные платоновы и архимедовы (и другие) тела. Растяжение или скашивание осуществляется путём движения граней (в направлении) от центра (на одно и то же расстояние, чтобы сохранить симметрию) и созданием, затем, выпуклой оболочки. Расширение с поворотом осуществляется также вращением граней, это ломает прямоугольники, возникающие на местах рёбер, на треугольники. Последнее построение, которое мы здесь приводим, это усечение как углов, так и рёбер. Если игнорировать масштабирование, расширение можно также рассматривать как усечение углов и рёбер, но с определённым отношением между усечениями углов и рёбер.
| Симметрия | Тетраэдральная |
Октаэдральная[en]  |
Икосаэдральная[en]  | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Начальное тело Операция | Символ {p, q}   |
Тетраэдр {3,3}  | Куб {4,3}  | Октаэдр {3,4}  | Додекаэдр {5,3}  | Икосаэдр {3,5}  |
| Усечение (t) | t{p, q} |
Усечённый тетраэдр | Усечённый куб | Усечённый октаэдр | Усечённый додекаэдр | Усечённый икосаэдр |
| Полное усечение (r) Амвон (a) | r{p, q} |
Тетратетраэдр | Кубооктаэдр | Икосододекаэдр | ||
| Глубокое усечение[en] (2t) (dk) | 2t{p, q} |
Усечённый тетраэдр | усечённый октаэдр | усечённый куб | усечённый икосаэдр | усечённый додекаэдр |
| Двойное полное усечение (2r) Двойственный (d) | 2r{p, q} |
тетраэдр | октаэдр | куб | икосаэдр | додекаэдр |
| Скашивание (rr) Растяжение (e) | rr{p, q} |
Кубооктаэдр | Ромбокубооктаэдр | ромбоикосододекаэдр  | ||
| Плосконосое спрямление (sr) Спрямление[en] (s) | sr{p, q} |
плосконосый тетратетраэдр | плосконосый куб | плосконосый икосододекаэдр | ||
| скос-усечение[en] (tr) Скашивание (b) | tr{p, q} |
Усечённый октаэдр | Усечённый кубооктаэдр | Ромбоусечённый икосододекаэдр | ||
Заметим двойственность между кубом и октаэдром и между додекаэдром и икосаэдром. Также, частично вследствие самодвойственности тетраэдра, только одно архимедово тело имеет только одну тетраэдральную симметрию.
См. также
Примечания
- 1 2 3 Grünbaum, 2009.
- ↑ Field, 1997, p. 241—289.
- ↑ Malkevitch, 1988, p. 85.
Литература
- Field J. Rediscovering the Archimedean Polyhedra: Piero della Francesca, Luca Pacioli, Leonardo da Vinci, Albrecht Dürer, Daniele Barbaro, and Johannes Kepler // Archive for History of Exact Sciences. — Springer, 1997. — Vol. 50, no. 3-4. — ISSN 0003-9519.
- Grünbaum, Branko. An enduring error // Elemente der Mathematik. — 2009. — Vol. 64, no. 3. — P. 89–101. — DOI:10.4171/EM/120.. Перепечатано в The Best Writing on Mathematics 2010 / Mircea Pitici. — Princeton University Press, 2011. — P. 18–31.
- Malkevitch, Joseph. Shaping Space: A Polyhedral Approach / M. Senechal, G. Fleck. — Boston: Birkhäuser, 1988. — P. 80–92.
- Pugh, Anthony. Polyhedra: A visual approach. — California: University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7. Chapter 2
- Udaya, Jayatilake. Calculations on face and vertex regular polyhedral // Mathematical Gazette. — 2005. — Vol. 89, no. 514. — P. 76–81.
- Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — Dover Publications, Inc., 1979. — ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Archimedean solid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Archimedean Solids by Eric W. Weisstein, Wolfram Demonstrations Project.
- Paper models of Archimedean Solids and Catalan Solids
- Free paper models(nets) of Archimedean solids
- The Uniform Polyhedra by Dr. R. Mäder
- Virtual Reality Polyhedra, The Encyclopedia of Polyhedra by George W. Hart
- Penultimate Modular Origami by James S. Plank
- Interactive 3D polyhedra на Java
- Solid Body Viewer Интерактивный просмотр 3D-многогранников, который позволяет сохранить модель в svg-, stl- или obj-формате.
- Stella: Polyhedron Navigator: Программное обеспечение для создания изображений, многие из которых присутствуют на этой странице.
- Paper Models of Archimedean (and other) Polyhedra
 | Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .