WikiSort.ru - Не сортированное

Правильный икосаэдр
Тип	Правильный многогранник
Грань	Правильный треугольник
Граней	20
Рёбер	30
Вершин	12
Граней при вершине	5
Группа симметрии	Икосаэдрическая (Ih)
Двойственный многогранник	Правильный додекаэдр
Двугранный угол	138.19°

Пра́вильный икоса́эдр (от др.-греч. εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «сиденье», «основание») — правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник^[1], одно из Платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин — 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм.

История

Евклид в предложении 16 книги XIII «Начал» занимается построением икосаэдра, получая сначала два правильных пятиугольника, лежащих в двух параллельных плоскостях — из десяти его вершин, и затем — две оставшиеся противоположные друг другу вершины^{[2][3]:127-131}. Папп Александрийский в «Математическом собрании» занимается построением икосаэдра, вписанного в данную сферу, попутно доказывая, что двенадцать его вершин лежат в четырёх параллельных плоскостях, образуя в них четыре правильных треугольника^{[3]:315-316[4]}.

Основные формулы

Площадь поверхности S, объём V икосаэдра с длиной ребра a, а также радиусы вписанной и описанной сфер вычисляются по формулам:

Площадь:

${\displaystyle S=5a^{2}{\sqrt {3}}}$

Объём:

${\displaystyle V={\begin{matrix}{5 \over 12}\end{matrix}}(3+{\sqrt {5}})a^{3}}$

Радиус вписанной сферы^[5]:

${\displaystyle r={\begin{matrix}{1 \over {12}}\end{matrix}}{\sqrt {42+18{\sqrt {5}}}}a={\begin{matrix}{1 \over {4{\sqrt {3}}}}\end{matrix}}(3+{\sqrt {5}})a}$

Радиус описанной сферы^[5]:

${\displaystyle R={\begin{matrix}{1 \over 4}\end{matrix}}{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}a}$

Свойства

• Двугранный угол между любыми двумя смежными гранями икосаэдра равен arccos(-√5/3) = 138,189685°.
• Все двенадцать вершин икосаэдра лежат по три в четырёх параллельных плоскостях, образуя в каждой из них правильный треугольник.
• Десять вершин икосаэдра лежат в двух параллельных плоскостях, образуя в них два правильных пятиугольника, а остальные две — противоположны друг другу и лежат на двух концах диаметра описанной сферы, перпендикулярного этим плоскостям.
• Икосаэдр можно вписать в куб, при этом шесть взаимно перпендикулярных рёбер икосаэдра будут расположены соответственно на шести гранях куба, остальные 24 ребра внутри куба, все двенадцать вершин икосаэдра будут лежать на шести гранях куба
• В икосаэдр может быть вписан тетраэдр, так что четыре вершины тетраэдра будут совмещены с четырьмя вершинами икосаэдра.
• Икосаэдр можно вписать в додекаэдр, при этом вершины икосаэдра будут совмещены с центрами граней додекаэдра.
• В икосаэдр можно вписать додекаэдр с совмещением вершин додекаэдра и центров граней икосаэдра.
• Усечённый икосаэдр может быть получен срезанием 12 вершин с образованием граней в виде правильных пятиугольников. При этом число вершин нового многогранника увеличивается в 5 раз (12×5=60), 20 треугольных граней превращаются в правильные шестиугольники (всего граней становится 20+12=32), а число рёбер возрастает до 30+12×5=90.
• Собрать модель икосаэдра можно при помощи 20 равносторонних треугольников.
• Невозможно собрать икосаэдр из правильных тетраэдров, так как радиус описанной сферы вокруг икосаэдра, соответственно и длина бокового ребра (от вершины до центра такой сборки) тетраэдра меньше ребра самого икосаэдра.

Усечённый икосаэдр

Усечённый икосаэдр — многогранник, состоящий из 12 правильных пятиугольников и 20 правильных шестиугольников. Имеет икосаэдрический тип симметрии. По сути классический футбольный мяч имеет форму не шара, а усечённого икосаэдра с выпуклыми (сферическими) гранями.

В мире

• Икосаэдр лучше всего из всех правильных многогранников подходит для триангуляции сферы методом рекурсивного разбиения^[6]. Поскольку он содержит наибольшее среди них количество граней, искажение получающихся треугольников по отношению к правильным минимально.
• Икосаэдр применяется как игральная кость в настольных ролевых играх, и обозначается при этом d20 (dice — кости).

См. также

• Звёздчатый многогранник

Примечания

Литература

• Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решение уравнений пятой степени / Ф. Клейн; пер. с нем. А. Л. Городенцев, А. А. Кириллов, ред. А. Н. Тюрин. — М.: Наука, 1989. — 332 с. — ISBN 5020141976.