WikiSort.ru - Не сортированное

Символ Шлефли — комбинаторная характеристика правильного многогранника, применяется для описания правильных многогранников во всех размерностях. Назван в честь швейцарского математика Людвига Шлефли, который внёс значительный вклад в геометрию и другие области математики.

Построение

Символ Шлефли для правильного многогранника ${\displaystyle \Gamma }$ размерности ${\displaystyle n}$ записывается в виде ${\displaystyle \{p_{1},p_{2},p_{3},\ldots p_{n-1}\}}$ . Он индуктивно определяется следующим образом: определим ${\displaystyle p_{1}}$ как число сторон двухмерной грани многогранника ${\displaystyle \Gamma }$ . Затем зафиксируем одну из вершин ${\displaystyle P}$ многогранника ${\displaystyle \Gamma }$ и рассмотрим все вершины, соединённые с ней ребром. Все они лежат в одной гиперплоскости ${\displaystyle H}$ , ортогональной к оси, соединяющей центр многогранника с вершиной ${\displaystyle P}$ . Сечение многогранника ${\displaystyle \Gamma }$ гиперплоскостью ${\displaystyle H}$ представляет собой правильный многогранник ${\displaystyle \Gamma ^{\prime }}$ размерности ${\displaystyle n-1}$ . Поскольку все вершины ${\displaystyle \Gamma }$ равноправны, тип этого многогранника не зависит от выбора вершины ${\displaystyle P}$ . Теперь определим ${\displaystyle p_{2}}$ как число сторон двухмерной грани многогранника ${\displaystyle \Gamma ^{\prime }}$ . Продолжая действовать таким образом до тех пор, пока получающееся сечение имеет двумерную грань, мы получим символ Шлефли многогранника ${\displaystyle \Gamma }$ . Таким образом, символ Шлефли ${\displaystyle n}$ -мерного многогранника состоит из ${\displaystyle n-1}$ целого числа ${\displaystyle \geq 3}$ .

Примеры

Размерность пространства	Символ Шлефли	Многогранник
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \{3\}}$	Правильный треугольник
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \{4\}}$	Правильный четырёхугольник
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \{5\}}$	Правильный пятиугольник
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \{6\}}$	Правильный шестиугольник
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \{n\}}$	Правильный n-угольник
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle \{3,3\}}$	Правильный тетраэдр
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle \{4,3\}}$	Куб
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle \{3,4\}}$	Октаэдр
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle \{3,5\}}$	Икосаэдр
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle \{5,3\}}$	Додекаэдр
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \{3,3,3\}}$	Пятиячейник
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \{4,3,3\}}$	Тессеракт
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \{3,3,4\}}$	Шестнадцатиячейник
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \{3,4,3\}}$	Двадцатичетырёхъячейник
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \{5,3,3\}}$	Стодвадцатиячейник
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle \{3,3,5\}}$	Шестисотячейник
${\displaystyle \geq 5}$	${\displaystyle \{3,...,3\}}$	Симплекс
${\displaystyle \geq 5}$	${\displaystyle \{3,...,3,4\}}$	Гипероктаэдр
${\displaystyle \geq 5}$	${\displaystyle \{4,3,...,3\}}$	Гиперкуб

См. также

• Формула Шлефли
• Эйлерова характеристика
• Правильные N-мерные многогранники

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Символ Шлефли (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Николай Вавилов КОНКРЕТНАЯ ТЕОРИЯ ГРУПП first draught (недоступная ссылка)