WikiSort.ru - Не сортированное

Нотация Конвея для многогранников, разработанная Конвеем и продвигаемая Хартом^[en], используется для описания многогранников, опираясь на затравочный (т.е. используемый для создания других) многогранник, модифицируемый различными префикс-операциями.

Конвей и Харт расширили идею использования операторов, подобных оператору truncation (усечения), определённого Кеплером, чтобы создавать связанные многогранники с той же симметрией. Базовые операторы могут сгенерировать все архимедовы тела и каталановы тела из правильных затравок. Например, tC представляет усечённый куб, а taC, полученный как t(aC), является усечённым октаэдром. Простейший оператор dual (двойственный) меняет местами вершины и грани. Так, двойственным многогранником для куба является октаэдр — dC=O. Применённые последовательно, эти операторы позволяют сгенерировать многие многогранники высокого порядка. Получающиеся многогранники будут иметь фиксированную топологию (вершины, рёбра, грани), в то время как точная геометрия не ограничивается.

Затравочные многогранники, являющиеся правильными многогранниками, представляются первой буквой в их (английском) названии (Tetrahedron = тетраэдр, Octahedron = октаэдр, Cube = куб, Icosahedron = икосаэдр, Dodecahedron = додекаэдр). Кроме того, используются призмы (Pn – от prism для n-угольных призм), антипризмы (An – от Antiprisms), купола (Un – от cupolae), антикупола (Vn) и пирамиды (Yn – от pyramid). Любой многогранник может выступать в качестве затравки, если операции могут на них быть выполнены. Например, правильногранные многогранники можно обозначить как Jn (от Johnson solids = тела Джонсона) для n=1…92.

В общем случае трудно предсказать результат последовательного применения двух и более операций на заданный многогранник-затравку. Например, операция ambo, применённая дважды, оказывается той же самой, что и операция expand (расширения), aa=e, в то время как операция truncation (усечение) после операции ambo даёт то же, что и операция bevel, ta=b. Не существует общей теории, описывающей, какие многогранники могут быть получены с помощью некоторого набора операторов. Наоборот, все результаты были получены эмпирически.

Операции на многогранниках

Элементы таблицы даны для затравки с параметрами (v,e,f) (вершин, рёбер, граней), преобразуемой в новые виды в предположении, что затравка является выпуклым многогранником (топологической сферой с эйлеровой характеристикой 2). Пример, базирующийся на затравке в виде куба, дан для каждого оператора. Базовые операции достаточны для генерации зеркально симметричных однородных многогранников и их двойственных. Некоторые базовые операции можно выразить через композицию других операций.

Специальные виды

Операция «kis» имеет вариант, kn, в этом случае добавляются только пирамиды к граням с n-сторонами.

Операция усечения имеет вариант, tn, в этом случае усекаются только вершины порядка n.

Операторы применяются подобно функциям справа налево. Например, кубооктаэдр является ambo кубом (кубом, к которому применена операция ambo), то есть t(C) = aC, а усечённый кубооктаэдр равен t(a(C)) = t(aC) = taC.

Оператор хиральности

• r – «отражение» («reflect») – делает зеркальное отражение затравки. Оператор не меняет затравку, если к ней не были применены операторы s или g. Другой записью хиральной формы служит надчёркивание, например, s = rs.

Операции в таблице показаны на примере куба и нарисованы на поверхности куба. Синие грани пересекают исходные рёбра, розовые грани соответствуют исходным вершинам.

Базовые операции

Оператор	Пример	Название	Альтернативное построение	вершины	рёбра	грани	Описание
		Затравка		v	e	f	Исходный многогранник
r		reflect		v	e	f	Зеркальный образ для хиральных форм
d		dual		f	e	v	Двойственный многогранник для затравки – каждая вершина создаёт новую грань
a		ambo	dj djd	e	2e	f+v	Новые вершины добавляются в середине рёбер, а старые вершины отрезаются (rectify) Операция создаёт вершины с валентностью 4.
j		join	da dad	v+f	2e	e	К затравке добавляются пирамиды с достаточной высотой, так что два треугольника, принадлежащие разным пирамидам и имеющие общую сторону затравки, становятся копланарными (лежащими на одной плоскости) и образуют новую грань. Операция создаёт квадратные грани.
k kn		kis	nd = dz dtd	v+f	3e	2e	На каждой грани добавляется пирамида. Акизация или кумуляция,[1] увеличение или пирамидальное расширение[en].
t tn		truncate	nd = dz dkd	2e	3e	v+f	Отсекает все вершины. Операция является сопряжённой с kis
n		needle	kd = dt dzd	v+f	3e	2e	Двойственный многогранник к усечённой затравке. Грани триангулируются с двумя треугольниками для каждого ребра. Это делит пополам грани через все вершины и рёбра, удаляя при этом исходные рёбра. Операция преобразует геодезический многогранник[en] (a,b) в (a+2b,a-b) для a>b. Она также преобразует (a,0) в (a,a), (a,a) в (3a,0), (2,1) в (4,1), и т.д.
z		zip	dk = td dnd	2e	3e	v+f	Двойственный многогранник к затравке после операции kis или усечение двойственного многогранника. Операция создаёт новые рёбра, перпендикулярные исходным рёбрам. Операция также называется bitruncation (глубоким усечением[en]). Эта операция преобразует многогранник Голдберга[en] G(a,b) в G(a+2b,a-b) для a>b. Она также преобразует G(a,0) в G(a,a), G(a,a) в G(3a,0), G(2,1) в G(4,1) и т.д.
e		expand (растяжение)	aa dod = do	2e	4e	v+e+f	Каждая вершина создаёт новую грань, а каждое ребро создаёт новый четырёхугольник. (cantellate = скашивание)
o		ortho	daa ded = de	v+e+f	4e	2e	Каждая n-угольная грань делится на n четырёхугольников.
g rg=g		gyro	dsd = ds	v+2e+f	5e	2e	Каждая n-угольная грань делится на n пятиугольников.
s rs=s		snub	dgd = dg	2e	5e	v+2e+f	«расширение и кручение» – каждая вершина образует новую грань, а каждое ребро образует два новых треугольника
b		bevel	dkda = ta dmd = dm	4e	6e	v+e+f	Новые грани добавляются вместо рёбер и вершин. (cantitruncation = скос-усечение[en])
m		meta medial	kda = kj dbd = db	v+e+f	6e	4e	Триангуляция с добавлением вершин в центрах граней и рёбер.

Образование правильных затравок

Все пять правильных многогранников могут быть получены из призматических генераторов, используя от нуля до двух операторов:

• Треугольная пирамида: Y3 (Тетраэдр является частным случаем пирамид)
  • T = Y3
  • O = aT (тетраэдр после операции ambo)
  • C = jT (тетраэдр после операции join)
  • I = sT (плосконосый тетраэдр, тетраэдр после операции snub)
  • D = gT (тетраэдр после операции gyro)
• Треугольная антипризма: A3 (Октаэдр является частным случаем антипризм)
  • O = A3
  • C = dA3
• Квадратная призма: P4 (Куб является частным случаем призмы)
  • C = P4
• Пятиугольная антипризма: A5
  • I = k5A5 (Частный случай скрученно удлинённой бипирамиды^[en])
  • D = t5dA5 (Частный случай усечённого трапецоэдра^[en])

Правильная евклидова мозаика может также быть использована в качестве затравки:

• Q = Quadrille (четырёхугольная мозаика) = квадратная мозаика
• H = Hextille = шестиугольная мозаика = dΔ
• Δ = Deltille = треугольная мозаика = dH

Примеры

Куб может образовать все выпуклые однородные многогранники^[en] с октаэдральной симметрией. В первой строке показаны архимедовы тела, а во второй — каталановы тела. Вторая строка образуется как двойственные многогранники к многогранникам первой строки. Если сравнивать каждый новый многогранник с кубом, можно понять визуально проведённые операции.

Куб «затравка»	ambo	truncate	zip	expand	bevel	snub
C dO	aC aO	tC zO	zC = dkC tO	aaC = eC eO	bC = taC taO	sC sO
dual	join	needle	kis	ortho	medial	gyro
dC O	jC jO	dtC = kdC kO	kC dtO	oC oO	dtaC = mC mO	gC gO

Усечённый икосаэдр, tI или zD, являющийся многогранником Голдберга^[en] G(2,0), создаёт дополнительные многогранники, которые ни вершинно-, ни гранетранзитивны.

Усечённый икосаэдр в качестве затравки

«затравка»	ambo	truncate	zip	extension	bevel	snub[en]
zD tI	azI atI	tzD ttI	tdzD tdtI	aazD = ezD aatI = etI	bzD btI	szD stI
dual	join	needle	kis	ortho	medial	gyro
dzD dtI	jzD jtI	kdzD kdtI	kzD ktI	ozD otI	mzD mtI	gzD gtI

Геометрические координаты производных форм

В общем случае затравка может считаться замощением поверхности. Поскольку операторы представляют топологические операции, то точные положения вершин производных форм в общем случае не определены. Выпуклые правильные многогранники в качестве затравки могут рассматриваться как замощения сферы, а потому производные многогранники можно рассматривать как расположенные на сфере. Подобно правильным мозаикам на плоскости, таким как шестиугольный паркет, эти многогранники на сфере могут выступать в качестве затравки для производных мозаик. Невыпуклые многогранники могут стать затравками, если связанные топологические поверхности определяются для ограничения положения вершин. Например, тороидальные многогранники могут произвести другие многогранники с точками на той же торической поверхности.

Пример: Затравка в виде додекаэдра как сферическая мозаика

D	tD	aD	zD = dkD	eD	bD = taD	sD
dD	nD = dtD	jD = daD	kD = dtdD	oD = deD	mD = dtaD	gD

Пример: Затравка в виде евклидовой шестиугольной мозаики (H)

H	tH[en]	aH	tdH = H	eH[en]	bH[en] = taH	sH
dH	nH = dtH	jH = daH	dtdH = kH	oH[en] = deH	mH = dtaH	gH = dsH

Производные операции

Смешение двух и более базовых операций приводит к широкому разнообразию форм. Имеется много других производных операций. Например, смешение двух ambo, kis или expand операций вместе с операциями dual. Использование альтернативных операторов наподобие join, truncate, ortho, bevel и medial может упростить имена и удалить операторы dual. Общее число рёбер производных операций можно вычислить через мультипликаторы каждого отдельного оператора.

Операции в таблице показаны для куба (в качестве примера затравки) и нарисованы на поверхности куба. Голубые грани пересекают исходные рёбра, а розовые грани соответствуют исходным вершинам.

Производные операции

Оператор	Пример	Название	Альтернативное построение	вершины	рёбра	грани	Описание
		Затравка		v	e	f	Исходный многогранник
at			akd	3e	6e	v+2e+f	Операция ambo после truncate
jk			dak	v+2e+f	6e	3e	Операция join после kis. Подобна ortho, за исключением того, что новые квадратные грани вставляются на место исходных рёбер
ak			dajd	3e	6e	v+2e+f	Операция ambo после kis. Подобна expand, за исключением того, что новые вершины добавляются на исходные рёбра, образуя два треугольника.
jt			dakd = dat	v+2e+f	6e	3e	Операция join после truncate. Двойственный многогранник к полученному после операций truncate, затем ambo
tj			dka	4e	6e	v+e+f	truncate join
ka				v+e+f	6e	4e	kis ambo
ea or ae			aaa	4e	8e	v+3e+f	расширенная операция ambo, тройная операция ambo
oa or je			daaa = jjj	v+3e+f	8e	4e	Операция ortho после ambo, тройная операция join
x=kt		exalt	kdkd dtkd	v+e+f	9e	7e	Операции kis truncate, триангуляция, деление рёбер на 3 части и добавление новых вершин в центр исходных граней. Операция преобразует геодезический многогранник[en] (a,b) в (3a,3b).
y=tk		yank	dkdk dktd	v+e+f	9e	7e	Операции truncate kis, расширение шестиугольниками вокруг каждого ребра Операция преобразует многогранник Голдберга[en] G(a,b) в G(3a,3b).
nk			kdk = dtk = ktd	7e	9e	v+e+f	needled kis
tn			dkdkd = dkt = tkd	7e	9e	v+e+f	truncate needle
tt			dkkd	7e	9e	v+e+f	двойная операция truncate
kk			dttd	v+2e+f	9e	6e	двойная операция kis
nt			kkd = dtt	v+e+f	9e	7e	needle truncate
tz			dkk = ttd	6e	9e	v+2e+f	truncate zip
ke			kaa	v+3e+f	12e	8e	Kis expand
to			dkaa	8e	12e	v+3e+f	truncate ortho
ek			aak	6e	12e	v+5e+f	expand kis
ok			daak = dek	v+5e+f	12e	6e	ortho kis
et			aadkd	6e	12e	v+5e+f	расширенная операция truncate
ot			daadkd = det	v+5e+f	12e	6e	ortho truncate
te or ba			dkdaa	8e	12e	v+3e+f	truncate expand
ko or ma			kdaa = dte ma = mj	v+3e+f	12e	8e	kis ortho
ab or am			aka = ata	6e	12e	v+5e+f	ambo bevel
jb or jm			daka = data	v+5e+f	12e	6e	joined bevel
ee			aaaa	v+7e+f	16e	8e	double-expand
oo			daaaa = dee	8e	16e	v+7e+f	double-ortho

Хиральные производные операции

Имеются другие производные операции, если используется gyro с операциями ambo, kis или expand и до трёх операций dual.

Оператор(ы)	d	a	k	e	g	a&g	k&g	e&g	g&g
мультипликатор рёбер	1	2	3	4	5	10	15	20	25
Уникальных производных операторов						4	8	4	2

Хиральные порождённые операции

Оператор	Пример	Название	Построение	вершин	рёбер	граней	Описание
		Затравка		v	e	f	Исходный многогранник
ag			as djsd = djs	v+4e+f	10e	5e	ambo gyro
jg			dag = js dasd = das	5e	10e	v+4e+f	joined gyro
ga			gj dsjd = dsj	v+5e+f	10e	4e	gyro ambo
sa			dga = sj dgjd = dgj	4e	10e	v+5e+f	snub ambo
kg			dtsd = dts	v+4e+f	15e	10e	kis gyro
ts			dkgd = dkg	10e	15e	v+4e+f	truncated snub
gk			dstd	v+8e+f	15e	6e	gyro kis
st			dgkd	6e	15e	v+8e+f	snub truncation
sk			dgtd	v+8e+f	15e	6e	snub kis
gt			dskd	6e	15e	v+8e+f	gyro truncation
ks			kdg dtgd = dtg	v+4e+f	15e	10e	kis snub
tg			dkdg dksd	10e	15e	v+4e+f	truncated gyro
eg			es aag	v+9e+f	20e	10e	expanded gyro
og			os daagd = daag	10e	20e	v+9e+f	expanded snub
ge			go gaa	v+11e+f	20e	8e	gyro expand
se			so dgaad = dgaa	8e	20e	v+11e+f	snub expand
gg			gs dssd = dss	v+14e+f	25e	10e	double-gyro
ss			sg dggd = dgg	10e	25e	v+14e+f	double-snub

Расширенные операторы

Эти расширенные операторы нельзя создать в общем виде с помощью выше перечисленных базовых операций. Некоторые операторы могут быть созданы как частные случаи с k и t операторами, но применённые к определённым граням и вершинам. Например, куб со снятой фаской, cC, может быть построен как t4daC, как ромбододекаэдр, daC или jC с усечёнными вершинами валентности 4. Поднятый куб lC — это то же самое, что t4kC, квинтододекаэдр qD можно построить как t5daaD, t5deD или t5oD, a дельтоидальный гексеконтаэдр можно построить как deD или oD с усечением вершин с валентностью 5.

Некоторые расширенные операторы образуют последовательность и даны с последующим числом. Например, ortho делит квадратную грань на 4 квадрата, а o3 может делить на 9 квадратов. o3 является уникальным построением, в то время как o4 можно получить как oo, оператор ortho, применённый дважды. Оператор loft может включать индекс подобно оператору kis, чтобы ограничить применение на грани с указанным числом сторон.

Операция chamfer (снятие фаски) создаёт многогранник Голдберга^[en] G(2,0) с новыми шестиугольниками между исходными гранями. Последовательные операции chamfer создают G(2n,0).

Расширенные операции

Оператор	Пример	Название	Альтернативное построение	вершин	рёбер	граней	Описание
		Затравка		v	e	f	Исходный многогранник
c (от chamfer)		chamfer	dud	v + 2e	4e	f + e	Усечение рёбер. Вместо рёбер вставляются новые шестиугольные грани. Многогранник Голдберга[en] (0,2)
-		-	dc	f + e	4e	v + 2e	Операция dual после chamfer
u		subdivide	dcd	v+e	4e	f+2e	Операция ambo, пока сохраняются исходные вершины Операция аналогична cхеме Лупа подразделения поверхности[en] для треугольных граней
-			cd	f+2e	4e	v+e	Операция dual после subdivide
l ln		loft		v+2e	5e	f+2e	Расширение каждой грани призмой, добавление меньшей копии каждой грани с трапециями между внутренней и внешней гранью.
			dl dln	f+2e	5e	v+2e	Операция dual после loft
			ld lnd	f+2e	5e	v+2e	Операция loft после dual
			dld dlnd	v+2e	5e	f+2e	Операция, сопряжённая с loft
			dL0	f+3e	6e	v+2e	Операция dual после joined-lace
			L0d	f+2e	6e	v+3e	Операция joined-lace после dual
			dL0d	v+3e	6e	f+2e	Операция, сопряжённая с joined-lace
q		quinto		v+3e	6e	f+2e	Операция ortho с последующим усечением вершин, находящихся в центре исходных граней. Операция создаёт 2 новых пятиугольника для каждого исходного ребра.
-			dq	f+2e	6e	v+3e	Операция dual после quinto
			qd	v+2e	6e	f+3e	Операция quinto после dual
-			dqd	f+3e	6e	v+2e	Операция, сопряжённая с quinto
L0		joined-lace		v+2e	6e	f+3e	Аналогична операции lace, но с новыми четырёхугольными гранями на месте исходных рёбер
L Ln		Lace		v+2e	7e	f+4e	Расширение каждой грани антипризмой, добавление повёрнутой меньшей копии каждой грани с треугольниками между старой и новой гранями. Индекс может быть добавлен для ограничения операции на грани с указанным числом сторон.
			dL dLn	f+4e	7e	v+2e	Оператор dual после laced
			Ld Ldn	f+2e	7e	v+4e	Оператор lace после dual
			dLd dLnd	v+4e	7e	f+2e	Последовательность операций dual, lace, dual
K Kn		staKe		v+2e+f	7e	4e	Подразделение граней с центральными чётырёхугольниками и треугольниками. Может быть добавлен индекс для ограничения операции на грани с определённым числом сторон.
			dK dKn	4e	7e	v+2e+f	Операция dual после stake
			Kd	v+2e+f	7e	4e	Операция stake после dual
			dKd	4e	7e	v+2e+f	Операция, сопряжённая со stake
M3		edge-medial-3		v+2e+f	7e	4e	Операция подобна m3, но не добавляются диагональные рёбра
			dM3	4e	7e	v+2e+f	Операция dual после edge-medial-3
			M3d	v+2e+f	7e	4e	Операция edge-medial-3 после dual
			dM3d	4e	7e	v+2e+f	Операция, сопряжённая с edge-medial-3
M0		joined-medial		v+2e+f	8e	5e	Операция подобна medial, но с добавлением ромбических граней на месте исходных рёбер.
			dM0	v+2e+f	8e	5e	Операция dual после joined-medial
			M0d	v+2e+f	8e	5e	Операция joined-medial после dual
			dM0d	5e	8e	v+2e+f	Операция, сопряжённая с joined-medial
m3		medial-3		v+2e+f	9e	7e	Триангуляция с добавлением двух вершин на каждое ребро и одной вершины в центре каждой грани.
b3		bevel-3	dm3	7e	9e	v+2e+f	Операция dual после medial-3
			m3d	7e	9e	v+2e+f	Операция medial-3 после dual
			dm3d	v+2e+f	9e	7e	Операция, сопряжённая с medial-3
o3		ortho-3	de3	v+4e	9e	f+4e	Оператор ortho с делением рёбер на 3
e3		expand-3	do3	f+4e	9e	v+4e	Оператор expand с делением рёбер на 3
X		cross		v+f+3e	10e	6e	Комбинация операций kis и subdivide. Исходные рёбра делятся пополам и образуются треугольные и четырёхугольные грани.
			dX	6e	10e	v+f+3e	Операция dual после cross
			Xd	6e	10e	v+f+3e	Операция cross после dual
			dXd	v+f+3e	10e	6e	Операция, сопряжённая с cross
m4		medial-4		v+3e+f	12e	8e	Триангуляция с добавлением 3 вершин на каждое ребро и вершины в центр каждой грани.
u5		subdivide-5		v+8e	25e	f+16e	Рёбра делятся на 5 частей Этот оператор делит рёбра и грани так, что образуется 6 треугольников вокруг каждой новой вершины.

Расширенные хиральные операторы

Эти операторы нельзя создать в общем виде из перечисленных выше базовых операций. Художник-геометр Харт^[en] создал операцию, которую он назвал пропеллер.

• p – «propeller» = пропеллер (оператор вращения, создающий четырёхугольники на месте вершин). Эта операция самодвойственна: dpX=pdX.

Расширенные хиральные операции

Оператор	Пример	Название	Альтернативное построение	вершины	рёбра	грани	Описание
		«Затравка»		v	e	f	Исходный многогранник
p rp=p		propellor		v + 2e	5e	f + 2e	Операция gyro, после которой выполняется ambo на вершинах в центрах исходных граней
-		-	dp = pd	f + 2e	5e	v + 2e	Те же вершины, что и в gyro, но на месте исходных вершин образуются грани
-				4e	7e	v+2e+f	Операция подобна snub, но по периметру исходных граней идут пятиугольники, а не треугольники
-		-	-	v+2e+f	7e	4e
w=w2=w2,1 rw=w		whirl		v+4e	7e	f+2e	Операция gyro с последующим усечением вершин в центре исходных граней. Операция создаёт 2 новых шестиугольника для каждого исходного ребра, многогранник Голдберга[en] (2,1) Производный оператор wrw преобразует G(a,b) в G(7a,7b).
v rv=v		volute	dwd	f+2e	7e	v+4e	Оператор dual после whirl, или snub с последующей операцией kis на исходных гранях. Полученный оператор vrv преобразует геодезический многогранник (a,b) в (7a,7b).
g3 rg3=g3		gyro-3		v+6e	11e	f+4e	Операция gyro создаёт 3 пятиугольника вдоль каждого исходного ребра
s3 rs3=s3		snub-3	dg3d = dg3	f+4e	11e	v+6e	Операция dual после gyro-3, операция snub, делящая рёбра на 4 срединных треугольника и с треугольниками на месте исходных вершин
w3,1 rw3,1=w3,1		whirl-3,1		v+8e	13e	f+4e	Операция создаёт 4 новых шестиугольника для каждого исходного ребра, многогранник Голдберга[en] (3,1)
w3=w3,2 rw3=w3		whirl-3,2		v+12e	19e	f+6e	Операция создаёт 12 новых шестиугольников для каждого исходного ребра, многогранник Голдберга[en] (3,2)

Операции, сохраняющие исходные рёбра

Эти операции расширения^[en] оставляют исходные рёбра и позволяют применять оператор к любому независимому подмножеству граней. Нотация Конвея поддерживает дополнительный индекс для этих операций, указывающий число сторон у вовлечённых в операцию граней.

Оператор	kis	cup	acup	loft	lace	stake	kis-kis
Пример	kC	UC	VC	lC	LC	KC	kkC
Рёбра	3e	4e-f4	5e-f4	5e	6e	7e	9e
Изображение на кубе
Расширение	Пирамида	Купол	Антикупол	Призма	Антипризма

Операторы Коксетера

Операторы Коксетера/Джонсона^[en] иногда полезны при смешении с операторами Конвея. Для ясности в нотации Конвея эти операции даны заглавными буквами. t-Нотация Коксетера определяет активные кружки как индексы диаграммы Коксетера — Дынкина. Таким образом, в таблице заглавная T с индексами 0,1,2 определяет однородные операторы из правильной затравки. Нулевой индекс представляет вершины, 1 представляет рёбра, а 2 представляет грани. При T = T_0,1 это будет обычным усечением, а R = T₁ является полным усечением, или операцией rectify, то же самое, что и оператор Конвея ambo. Например, r{4,3} или t₁{4,3} является именем Коксетера для кубооктаэдра, а полноусечённый куб — это RC, то же самое, что ambo куб Конвея, aC.

Расширенные операции Коксетера

Оператор	Пример	Название	Альтернативное построение	вершины	рёбра	грани	Описание
T0	, t0{4,3}	«Затравка»		v	e	f	Seed form
R = T1	, t1{4,3}	rectify	a	e	2e	f+v	То же самое, что ambo, новые вершины добавляются в середине рёбер, а новые грани заменяют исходные вершины. Все вершины имеют валентность 4.
T2	, t2{4,3}	dual birectify	d	f	e	v	Операция dual для затравочного многогранника — каждая вершина создаёт новую грань
T = T0,1	, t0,1{4,3}	truncate	t	2e	3e	v+f	Отсекаются все вершины.
T1,2	, t1,2{4,3}	bitruncate[en]	z = td	2e	3e	v+f	То же самое, что и zip
RR = T0,2	, t0,2{4,3}	cantellate	aa=e	2e	4e	v+e+f	То же самое, что и expand
TR = T0,1,2	, t0,1,2{4,3}	cantitruncate[en]	ta	4e	6e	v+e+f	То же самое, что и bevel

Полуоператоры

.

Оператор semi или demi Коксетера, H (от Half), уменьшает число сторон каждой грани вдвое, а четырёхугольные грани в двуугольники с двумя рёбрами, соединяющими две вершины, и эти два ребра могут быть заменены или не заменены одним ребром. Например, половинка куба, h{4,3}, полукуб, — это HC, представляющий один из двух тетраэдров. Ho сокращает ortho в ambo/Rectify.

Другие semi-операторы (полуоператоры) можно определить с использованием оператора H. Конвей называет оператор Snub (плосконосое усечение) Коксетера S, semi-snub (полуплосконосым усечением), определённым как Ht. Оператор snub^[en] s Конвея определяется как SR. Например, SRC — это плосконосый куб, sr{4,3}. Плосконосый октаэдр Коксетера, s{3,4} можно определить как SO, построение пиритоэдральной симметрии для правильного икосаэдра. Это также согласуется с определением правильной плосконосой квадратной антипризмой как SA4.

Оператор semi-gyro, G, определяется как dHt. Это позволяет определить оператор поворачивания Конвея g (gyro) как GR. Например, GRC — это gyro-куб, gC, или пентагональный икоситетраэдр. GO определяет пиритоэдр с пиритоэдральной симметрией, в то время как gT (gyro tetrahedron, гиротетраэдр) определяет тот же самый топологический многогранник с тетраэдральной симметрией.

Оба оператора S и G требуют, чтобы затравочный многогранник имел вершины чётной валентности. Во всех этих полуоператорах имеется два выбора для альтернации вершин для оператора half. Эти две конструкции в общем случае топологически не тождественны. Например, HjC определяет либо куб, либо октаэдр, в зависимости от того, какой набор вершин выбирается.

Другие операторы применимы только к многогранникам с гранями, имеющими чётное число рёбер. Простейшим оператором является semi-join, который является сопряжённым с оператором half, dHd.

Оператор semi-ortho, F, сопряжён с semi-snub. Он добавляет вершину в центр грани и делит пополам все рёбра, но соединяет новыми рёбрами центр только с половиной рёбер, создавая тем самым новые шестиугольные грани. Исходные квадратные грани не требуют наличия центральной вершины, а требует только одно ребро через грань, создающее пару пятиугольников. Например, двенадцатигранник тетартоид может быть построен как FC.

Оператор semi-expand, E, определяется как Htd или Hz. Оператор создаёт треугольные грани. Например, EC создаёт построение с пироэдральной симметрией псевдоикосаэдра^[en].

Полуоператоры на многогранниках с гранями, имеющими чётное число сторон

Оператор	Пример (Затравка — куб)	Название	Альтернативное построение	вершин	рёбер	граней	Описание
H = H1 H2		semi-ambo Half 1 и 2		v/2	e-f4	f-f4+v/2	Alternation[en], удаление половины вершин. Четырёхугольные грани (f4) редуцируются до одиночных рёбер.
I = I1 I2		semi-truncate 1 и 2		v/2+e	2e	f+v/2	Усекает каждую вторую вершину
		semi-needle 1 и 2	dI	v/2+f	2e	e+v/2	Операция needle каждой второй вершины
F = F1 F2		semi-ortho Flex 1 и 2	dHtd = dHz dSd	v+e+f-f4	3e-f4	e	Операция dual после semi-expand — создаются новые вершины на рёбрах и в центрах граней, 2n-угольники делятся на n шестиугольников, четырёхугольные грани (f4) не будут содержать центральной вершины, так что образуется две пятиугольные грани.
E = E1 E2		semi-expand Eco 1 и 2	Htd = Hz dF = Sd dGd	e	3e-f4	v+e+f-f4	Операция dual после semi-ortho — создаются новые треугольные грани. Исходные грани заменяются многоугольниками с половиной сторон, четырёхугольники (f4) при этом редуцируются до одиночных рёбер.
U = U1 U2		semi-lace CUp 1 и 2		v+e	4e-f4	2e+f-f4	Наращение граней куполами.
V = V1 V2		semi-lace Anticup 3 и 4		v+e	5e-f4	3e+f-f4	Наращение граней антикуполами
		semi-medial 1 и 2	XdH = XJd	v+e+f	5e	3e	Поочерёдная операция medial относительно диагоналей
		semi-medial 3 и 4		v+e+f	5e	3e	Поочерёдная операция medial относительно медиан (соединяющих середины противоположных сторон)
		semi-bevel 1 и 2	dXdH = dXJd	3e	5e	v+e+f	Поочерёдная операция bevel относительно диагоналей
		semi-bevel 3 и 4		3e	5e	v+e+f	Поочерёдная операция bevel относительно медиан

Полуоперации на многогранниках с вершинами чётной валентности

Оператор	Пример ( Затравка —октаэдр)	Название	Альтернативное построение	вершин	рёбер	граней	Описание
J = J1 J2		semi-join 1 и 2	dHd	v-v4+f/2	e-v4	f/2	Оператор, сопряжённый с half, оператор join на чередующихся гранях. 4-валентные вершины (v4) редуцируются до 2-валентных и заменяются одним ребром.
		semi-kis 1 и 2	dId	v+f/2	2e	f/2+e	Операция kis на половине (поочерёдно, не соприкасающихся по ребру) граней
		semi-zip 1 и 2	Id	f/2+e	2e	v+f/2	Операция zip на половине граней
S = S1 S2		semi-snub 1 и 2	Ht dFd	v-v4+e	3e-v4	f+e	Операция dual после semi-gyro — операция snub[en], вращение исходных граней с добавлением новых треугольных граней в получающиеся зазоры.
G = G1 G2		semi-gyro 1 и 2	dHt dS = Fd dEd	f+e	3e-v4	v-v4+e	Операция dual после semi-snub — создаются пятиугольные и шестиугольные грани вдоль исходных рёбер.
		semi-medial 1 и 2	XdHd = XJ	3e	5e	v+e+f	Операция medial на половине (не соприкасающихся ребром) граней
		semi-bevel 1 и 2	dXdHd = dXJ	v+e+f	5e	3e	Операция bevel на половине (не соприкасающихся ребром) граней

Подразделения

Операция subdivision (подразделения) делит исходные рёбра на n новых рёбер, а внутренность граней заполняется треугольниками или другими многоугольниками.

Квадратное подразделение

Оператор ortho можно применить в серии степеней двойки четырёхугольных подразделений. Другие подразделения могут быть получены как результат факторизованных подразделений. Оператор propeller, применённый последовательно, даёт 5-орто подразделение. Если затравка имеет нечетырёхугольные грани, они остаются как уменьшенные копии для нечётных операторов ortho.

Примеры на кубе

Ortho		o2=o	o3	o4=o2	o5 =prp	o6=oo3	o7	o8=o3	o9=o32	o10=oo5 =oprp
Пример
Вершины	v	v+e+f	v+4e	v+7e+f	v+12e	v+17e+f	v+24e	v+31e+f	v+40e	v+63e+f
Рёбра	e	4e	9e	16e	25e	36e	49e	64e	81e	128e
Грани	f	2e	f+4e	8e	f+12e	18e	f+24e	32e	f+40e	64e
Expand (dual)		e2=e	e3	e4=e2	e5 =dprp	e6=ee3	e7	e8=e3	e9=e32	e10=ee5 =doprp
Пример

Хиральное шестиугольное подразделение

Оператор whirl создаёт многогранник Голдберга^[en] G(2,1) с новыми шестиугольными гранями вокруг каждой исходной вершины. Две последовательные операции whirls создают G(3,5). В общем случае операция whirl может преобразовать G(a,b) в G(a+3b,2a-b) для a>b и тем же самым хиральным направлением. Если хиральные направления обратны, G(a,b) превращается в G(2a+3b,a-2b) при a>=2b и в G(3a+b,2b-a) при a<2b.

Операторы whirl-n образуют многогранники Голдберга (n,n-1) и могут быть определены путём деления рёбер затравочного многогранника на 2n-1 подрёбер.

Результат операции whirl-n и ей обратной образует (3n²-3n+1,0) многогранник Голдберга^[en]. wrw образует (7,0), w₃rw₃ образует (19,0), w₄rw₄ образует (37,0), w₅rw₅ образует (61,0), а w₆rw₆ образует (91,0). Результат двух операций whirl-n — это ((n-1)(3n-1),2n-1) или (3n²-4n+1,2n-1). Произведение w_a на w_b даёт (3ab-2(a+b)+1,a+b-1), а w_a на обратный w_b даёт (3ab-a-2b+1,a-b) для a≥b.

Произведение двух идентичных операторов whirl-n образует многогранник Голдберга ((n-1)(3n-1),2n-1). Произведение k-whirl и zip — это (3k-2,1).

Операторы whirl-n

Название	Затравка	Whirl	Whirl-3	Whirl-4	Whirl-5	Whirl-6	Whirl-7	Whirl-8	Whirl-9	Whirl-10	Whirl-11	Whirl-12	Whirl-13	Whirl-14	Whirl-15	Whirl-16	Whirl-17	Whirl-18	Whirl-19	Whirl-20	Whirl-n
Оператор (Состоавной)	-	w=w2	w3	w4	w5	w6 wrw3,1	w7	w8 w3,1w3,1	w9 ww5,1	w10	w11	w12	w13 ww7,2	w14	w15	w16 ww9,2	w17 w3w6,1	w18	w19 w3,1w7,3	w20 ww11,3	wn
Многогранник Голдберга[en]	(1,0)	(2,1)	(3,2)	(4,3)	(5,4)	(6,5)	(7,6)	(8,7)	(9,8)	(10,9)	(11,10)	(12,11)	(13,12)	(14,13)	(15,14)	(16,15)	(17,16)	(18,17)	(19,18)	(20,19)	(n,n-1)
T разложение	1	7	19	37	61	91 7×13	127	169 13×13	217 7×31	271	331	397	469 7×67	547	631	721 7×103	817 19×43	919	1027 13×79	1141 7×163	3n(n-1)+1
Пример
Вершина	v	v+4e	v+12e	v+24e	v+40e	v+60e	v+84e	v+112e	v+144e	v+180e	v+220e	v+264e	v+312e	v+364e	v+420e	v+480e	v+544e	v+612e	v+684e	v+760e	v+2n(n-1)e
Рёбра	e	7e	19e	37e	61e	91e	127e	169e	217e	271e	331e	397e	469e	547e	631e	721e	817e	919e	1027e	1141e	e+3n(n-1)e
Грани	f	f+2e	f+6e	f+12e	f+20e	f+30e	f+42e	f+56e	f+72e	f+90e	f+110e	f+132e	f+156e	f+182e	f+210e	f+240e	f+272e	f+306e	f+342e	f+380e	f+n(n-1)e
wnwn	(1,0)	(5,3)	(16,5)	(33,7)	(56,9)	(85,11)	(120,13)	(161,15)	(208,17)	(261,19)	(320,21)	(385,23)	(456,25)	(533,27)	(616,29)	(705,31)	(800,33)	(901,35)	(1008,37)	(1121,39)	((n-1)(3n-1),2n-1)
wnrwn	(1,0)	(7,0)	(19,0)	(37,0)	(61,0)	(91,0)	(127,0)	(169,0)	(217,0)	(271,0)	(331,0)	(397,0)	(469,0)	(547,0)	(631,0)	(721,0)	(817,0)	(919,0)	(1027,0)	(1141,0)	(1+3n(n-1),0)
wnz	(1,1)	(4,1)	(7,1)	(10,1)	(13,1)	(16,1)	(19,1)	(22,1)	(25,1)	(28,1)	(31,1)	(34,1)	(37,1)	(40,1)	(43,1)	(46,1)	(49,1)	(52,1)	(55,1)	(58,1)	(3n-2,1)

Триангулированное подразделение

Операция u_n делит грани на треугольники путём деления каждого ребра на n частей, называемой n-частотным подразделением геодезического многогранника^[en] Бакминстера Фуллера^[2].

Операторы Конвея на многогранниках могут построить многие из этих подразделений.

Если все исходные грани являются треугольниками, новые многогранники будут также иметь все грани в виде треугольников, и на месте исходных граней создаются треугольные мозаики. Если исходные многогранники имеют грани с бо́льшим числом сторон, все новые грани не обязательно будут треугольниками. В таких случаях к многограннику сначала можно применить операцию kis с новыми вершинами в центре каждой грани.

Примеры подразделений на кубе

Оператор	u1	u2 =u	u3 =x	u4 =uu	u5	u6 =ux	u7 =vrv	u8 =uuu	u9 =xx
Пример
Обозначение Конвея	C	uC	xC	uuC	u5C	uxC	vrvC	uuuC	xxC
Вершины	v	v+e	v+e+f	v+4e	v+8e	v+11e+f	v+16e	v+21e	v+26e+f
Рёбра	e	4e	9e	16e	25e	36e	49e	64e	81e
Грани	f	f+2e	7e	f+8e	f+16e	24e	f+32e	f+42e	54e
Полная триангуляция
Оператор	u1k	u2k =uk	u3k =xk	u4k =uuk	u5k	u6k =uxk	u7k =vrvk	u8k =uuuk	u9k =xxk
Пример
Конвей	kC	ukC	xkC	uukC	u5kC	uxkC	vrvkC	uuukC	xxkC
Двойственный Голдберга	{3,n+}1,1	{3,n+}2,2	{3,n+}3,3	{3,n+}4,4	{3,n+}5,5	{3,n+}6,6	{3,n+}7,7	{3,n+}8,8	{3,n+}9,9

Геодезические многогранники

См. также: Геодезический многогранник и Многогранник Голдберга

Операции Конвея могут дублировать некоторые многогранники Голдберга и двойственные геодезическим многогранникам. Число вершин, рёбер и граней многогранника Голдберга^[en] G(m,n) можно вычислить исходя из m и n и число новых треугольников в каждом исходном треугольнике вычисляется по формуле T = m² + mn + n² = (m + n)² − mn. Построения (m,0) и (m,m) перечислены ниже обозначения операций Конвея.

Класс I

Для двойственных многогранников Голдберга оператор u_k определяется здесь как деление граней с подразделением рёбер на k частей. При этом оператор Конвея u = u₂, а его сопряжённый оператор dud является оператором chamfer, c. Этот оператор используется в компьютерной графике, в схеме Лупа подразделения поверхности^[en]. Оператор u₃ задаётся оператором Конвея kt=x, а его сопряжённый оператор y=dxd=tk. Произведение двух whirl операторов с обращением хиральности, wrw или ww, даёт 7-подразделение в виде многогранника Голдберга^[en] G(7,0), так что u₇=vrv. Более мелкие подразделения и операции whirl в хиральных парах могут построить дополнительные формы класса I. Операция w(3,1)rw(3,1) даёт многогранник Голдберга G(13,0). Операция w(3,2)rw(3,2) даёт G(19,0).

Class I: Операции подразделения на икосаэдре как геодезические многогранники

(m,0)	(1,0)	(2,0)	(3,0)	(4,0)	(5,0)	(6,0)	(7,0)	(8,0)	(9,0)	(10,0)	(11,0)	(12,0)	(13,0)	(14,0)	(15,0)	(16,0)
T	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169	196	225	256
Операция Составной	u1	u2=u =dcd	u3=x =kt	u4 =u22 =dccd	u5	u6=u2u3 =dctkd	u7 =vv =dwrwd	u8=u23 =dcccd	u9=u32 =ktkt	u10=u2u5	u11	u12=u22u3 =dccdkt	u13 v3,1v3,1	u14=u2u7 =uvv =dcwrwd	u15= u3u5 =u5x	u16=u24 =dccccd
Треугольная грань
Икосаэдр Конвей Геодезический[en]	I {3,5+}1,0	uI=k5aI {3,5+}2,0[en]	xI=ktI {3,5+}3,0[en]	u2I {3,5+}4,0	{3,5+}5,0	uxI {3,5+}6,0	vrvI {3,5+}7,0	u3I {3,5+}8,0	x2I {3,5+}9,0	{3,5+}10,0	{3,5+}11,0	u2xI {3,5+}12,0	{3,5+}13,0	uvrvI {3,5+}14,0	{3,5+}15,0	u4I {3,5+}16,0
Двойственный оператор		c	y =tk	cc	c5	cy =ctk	ww =wrw	ccc	y2 =tktk	cc5	c11	ccy =cctk	w3,1w3,1	cww =cwrw	c5y	cccc
Додекаэдр Конвей Голдберг[en]	D {5+,3}1,0	cD {5+,3}2,0[en]	yD {5+,3}3,0[en]	ccD {5+,3}4,0	c3D {5+,3}5,0	cyD {5+,3}6,0	wrwD {5+,3}7,0	cccD {5+,3}8,0	y2D {5+,3}9,0	cc5D {5+,3}10,0	c11D {5+,3}11,0	ccyD {5+,3}12,0	w3,1rw3,1D {5+,3}13,0	cwrwD {5+,3}14,0	c5yD {5+,3}15,0	ccccD G{5+,3}16,0

Класс II

Может быть определено также ортогональное подразделение, используя оператор n=kd. Оператор преобразует геодезический многогранник^[en] (a,b) в (a+2b,a-b) для a>b. Он преобразует (a,0) в (a,a), а (a,a) в (3a,0). Оператор z=dk делает то же самое для многогранников Голдберга.

Класс II: Операции ортогонального подразделения

(m,m)	(1,1)	(2,2)	(3,3)	(4,4)	(5,5)	(6,6)	(7,7)	(8,8)	(9,9)	(10,10)	(11,11)	(12,12)	(13,13)	(14,14)	(15,15)	(16,16)
T= m2×3	3 1×3	12 4×3	27 3×3	48 24×3	75 25×3	108 36×3	147 49×3	192 64×3	243 81×3	300 100×3	363 121×3	432 144×3	507 169×3	588 196×3	675 225×3	768 256×3
Операция	u1n n =kd	u2n =un =dct	u3n =xn =ktkd	u4n =u22n =dcct	u5n	u6n =u2=u3n =dctkt	u7n =vvn =dwrwt	u8n =u23n =dccct	u9n =u32n =ktktkd	u10n =u2u5n	u11n	u12n =u22u3n =dcctkt	u13n	u14n =u2u7n =dcwrwt	u15n =u3u5n	u16n =u24n =dcccct
Треугольная грань
Икосаэдр Конвей Геодезический[en]	nI {3,5+}1,1	unI {3,5+}2,2	xnI {3,5+}3,3	u2nI {3,5+}4,4	{3,5+}5,5	uxnI {3,5+}6,6	vrvnI {3,5+}7,7	u3nI {3,5+}8,8	x2nI {3,5+}9,9	{3,5+}10,10	{3,5+}11,11	u2xnI {3,5+}12,12	{3,5+}13,13	dcwrwdnI {3,5+}14,14	{3,5+}15,15	u4nI {3,5+}16,16
Двойственный оператор	z =dk	cz =cdk	yz =tkdk	c2z =ccdk	c5z	cyz =ctkdk	wwz =wrwdk	c3z =cccdk	y2z =tktkdk	cc5z	c11z	c2yz =c2tkdk	c13z	cwwz =cwrwdk	c3c5z	c4z =ccccdk
Додекаэдр Конвей Голдберг[en]	zD {5+,3}1,1	czD {5+,3}2,2[en]	yzD {5+,3}3,3	cczD {5+,3}4,4	{5+,3}5,5	cyzD {5+,3}6,6	wrwzD {5+,3}7,7	c3zD {5+,3}8,8	y2zD {5+,3}9,9	{5+,3}10,10	G{5+,3}11,11	ccyzD {5+,3}12,12	{5+,3}13,13	cwrwzD G{5+,3}14,14	{5+,3}15,15	cccczD {5+,3}16,16

Класс III

Большинство геодезических многогранников и двойственные к многогранникам Голдберга G(n,m) нельзя построить с помощью операторов, производных от операторов Конвея. Операция whirl создаёт многогранник Голдберга^[en] G(2,1) с новыми шестиугольными гранями вокруг каждой исходной вершины, а n-whirl образует G(n,n-1). На формах с икосаэдральной симметрией t5g эквивалентен в этом случае whirl. Операция v (=volute = виток, оборот) представляет треугольное подразделение, двойственное whirl. На икосаэдральных формах операция может быть осуществлена с помощью производного оператора k5s, pentakis snub.

Две последовательные операции whirl создают G(3,5). В общем случае операция whirl может преобразовать G(a,b) в G(a+3b,2a-b) для a>b с тем же самым хиральным направлением. Если хиральное направление обратное, G(a,b) становится G(2a+3b,a-2b) для a>=2b, и G(3a+b,2b-a) для a<2b.

Класс III: Операции подразбиения на неравные части

Операция Составная	v2,1 =v	v3,1	v3,2=v3	v4,1 =vn	v4,2 =vu	v5,1	v4,3=v4	v5,2 =v3n	v6,1	v6,2 =v3,1u	v5,3 =vv	v7,1 =v3n	v5,4=v5	v6,3 =vx	v7,2
T	7	13	19	21 7×3	28 7×4	31	37	39 13×3	43	52 13×4	49 7×7	57 19×3	61	63 9×7	67
Треугольная грань
Икосаэдр Конвей Геодезический[en]	vI {3,5+}2,1	v3,1I {3,5+}3,1	v3I {3,5+}3,2	vnI {3,5+}4,1	vuI {3,5+}4,2	{3,5+}5,1	v4I {3,5+}4,3	v3nI {3,5+}5,2	{3,5+}6,1	v3,1uI {3,5+}6,2	vvI {3,5+}5,3	v3nI {3,5+}7,1	v5I {3,5+}5,4	vxI {3,5+}6,3	v7,2I {3,5+}7,2
Оператор	w	w3,1	w3	wz	wc	w5,1	w4	w3,1z	w6,1	w3,1c	ww	w3z	w5	wy	w7,2
Додекаэдр Конвей	wD {5+,3}2,1	w3,1D {5+,3}3,1	w3D {5+,3}3,2	wzD {5+,3}4,1	wcD {5+,3}4,2	w5,1D {5+,3}5,1	w4D {5+,3}4,3	w3zD {5+,3}5,2	{5+,3}6,1	w3,1cD {5+,3}6,2	wwD {5+,3}5,3	w3zD {5+,3}7,1	w5D {5+,3}5,4	wyD {5+,3}6,3	w7,2D {5+,3}7,2

Другие операции класса III: Операции подразбиения на неравные части

Операция Составная	v8,1	v6,4 =v3u	v7,3	v8,2 =wcz	v6,5=v6 =vrv3,1	v9,1 =vv3,1	v7,4	v8,3	v9,2	v7,5	v10,1 =v4n	v8,4 =vuu	v9,3 =v3,1x	v7,6=v7	v8,6 v4u
T	73	76 19×4	79	84 7×4×3	91 13×7		93	97	103	109	111 37×3	112 7×4×4	117 13×9	127	148 37×4
Треугольная грань
Икосаэдр Конвей Геодезический[en]	v8,1I {3,5+}8,1	v3uI {3,5+}6,4	v7,3I {3,5+}7,3	vunI {3,5+}8,2	vv3,1I {3,5+}6,5	vrv3,1I {3,5+}9,1	v7,4I {3,5+}7,4	v8,3I {3,5+}8,3	v9,2I {3,5+}9,2	v7,5I {3,5+}7,5	v4nI {3,5+}10,1	vuuI {3,5+}8,4	v3,1xI {3,5+}9,3	v7I {3,5+}7,6	v4uI {3,5+}8,6
Оператор	w8,1	wrw3,1	w7,3	w3,1c	wcz	w3,1w	w7,4	w8,3	w9,2	w7,5	w4z	wcc	w3,1y	w7	w4c
Додекаэдр Конвей	w8,1D {5+,3}8,1	w3cD {5+,3}6,4	w7,3D {5+,3}7,3	wczD {5+,3}8,2	ww3,1D {5+,3}6,5	wrw3,1D {5+,3}9,1	w7,4D {5+,3}7,4	w8,3D {5+,3}8,3	w9,2D {5+,3}9,2	w7,5D {5+,3}7,5	w4zD {5+,3}10,1	wccD {5+,3}8,4	w3,1yD {5+,3}9,3	w7D {5+,3}7,6	w4cD {5+,3}8,6

Примеры многогранников по симметрии

Повторение операций, начав с простой формы, может дать многогранники с большим числом граней, сохраняющих симметрию затравки.