Теле́сный у́гол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и многогранные углы. Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность. Обозначается телесный угол обычно буквой Ω.
Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы:
Телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) величинами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан, равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса r поверхность с площадью r2. Полная сфера образует телесный угол, равный 4π стерадиан (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла.
Двойственный телесный угол к данному телесному углу Ω определяется как
угол, состоящий из лучей, образующих с любым лучом угла Ω неострый угол.
Коэффициенты пересчёта единиц телесного угла.
Стерадиан
Кв. градус
Кв. минута
Кв. секунда
Полный угол
1 стерадиан =
1
(180/π)² ≈ ≈ 3282,806 кв. градусов
(180×60/π)² ≈ ≈ 1,1818103⋅107 кв. минут
(180×60×60/π)² ≈ ≈ 4,254517⋅1010 кв. секунд
1/4π ≈ ≈ 0,07957747 полного угла
1 кв. градус =
(π/180)² ≈ ≈ 3,0461742⋅10−4 стерадиан
1
60² = = 3600 кв. минут
(60×60)² = = 12 960 000 кв. секунд
π/(2×180)² ≈ ≈ 2,424068⋅10−5 полного угла
1 кв. минута =
(π/(180×60))² ≈ ≈ 8,461595⋅10−8 стерадиан
1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10−4 кв. градусов
1
60² = = 3600 кв. секунд
π/(2×180×60)² ≈ ≈ 6,73352335⋅10−9 полного угла
1 кв. секунда =
(π/(180×60×60))² ≈ ≈ 2,35044305⋅10−11 стерадиан
1/(60×60)² ≈ ≈ 7,71604938⋅10−8 кв. градусов
1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10−4 кв. минут
1
π/(2×180×60×60)² ≈ ≈ 1,87042315⋅10−12 полного угла
Полный угол =
4π ≈ ≈ 12,5663706 стерадиан
(2×180)²/π ≈ ≈ 41252,96125 кв. градусов
(2×180×60)²/π ≈ ≈ 1,48511066⋅108 кв. минут
(2×180×60×60)²/π ≈ ≈ 5,34638378⋅1011 кв. секунд
1
Вычисление телесных углов
Для произвольной стягивающей поверхности S телесный угол Ω, под которым она видна из начала координат, равен
где — сферические координаты элемента поверхности — его радиус-вектор, — единичный вектор, нормальный к
Свойства телесных углов
Полный телесный угол (полная сфера) равен 4π стерадиан.
Сумма всех телесных углов, двойственных к внутренним телесным углам выпуклого многогранника, равна полному углу.
Величины некоторых телесных углов
Треугольник с координатами вершин , , виден из начала координат под телесным углом
где — смешанное произведение данных векторов, — скалярные произведения соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).
Телесный угол при вершине прямого кругового конуса с углом раствора α равен Если известны радиус основания и высота конуса, то Когда угол раствора конуса мал, (угол выражен в радианах), или (угол выражен в градусах). Так, телесный угол, под которым с Земли видны Луна и Солнце (их угловой диаметр примерно равен 0,5°), составляет около 6⋅10−5 стерадиан, или ≈0,0005 % площади небесной сферы (то есть полного телесного угла).
Телесный угол двугранного угла в стерадианах равен удвоенному значению двугранного угла в радианах.
Телесный угол, под которым видна грань правильного N-гранника из его центра, равна полного телесного угла, или стерадиан.
Телесный угол, под которым виден круг радиусом R из произвольной точки пространства (то есть телесный угол при вершине произвольного кругового конуса, не обязательно прямого) вычисляется с использованием полных эллиптических интегралов 1-го и 3-го рода[1]:
при
при
где и — полные нормальные эллиптические интегралы Лежандра 1-го и 3-го рода, соответственно;
— расстояние от центра основания конуса до проекции вершины конуса на плоскость основания;
Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.
2019-2024 WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии