При́зма (лат.prisma от др.-греч.πρίσμα «нечто отпиленное») — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами, имеющими общие стороны с этими многоугольниками.
Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями.
Многоугольник лежащий в основании определяет название призмы: треугольник — треугольная призма, четырёхугольник — четырёхугольная; пятиугольник — пятиугольная (пентапризма) и т.д.
Призма является частным случаем цилиндра в общем смысле (некругового).
Усечённая треугольная призмаПрямая призма — это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания, откуда следует, что все боковые грани являются прямоугольниками[1]. Другие призмы называются наклонными.
Прямые призмы с правильными основаниями и одинаковыми длинами рёбер образуют одну из двух бесконечных последовательностей полуправильных многогранников, другую последовательность образуют антипризмы
Усечённая призма — это призма с непараллельными основаниями[2].
Элементы призмы
Название
Определение
Обозначения на чертеже
Чертеж
Основания
Две грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, лежащими в параллельных друг другу плоскостях.
,
Призма
Боковые грани
Все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом.
, , , ,
Боковая поверхность
Объединение боковых граней.
Полная поверхность
Объединение оснований и боковой поверхности.
Боковые ребра
Общие стороны боковых граней.
, , , ,
Высота
Отрезок, соединяющий плоскости, в которых лежат основания призмы и перпендикулярный этим плоскостям.
Диагональ
Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.
Диагональная плоскость
Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания.
Диагональное сечение
Пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе его частные случаи — ромб, прямоугольник, квадрат.
Перпендикулярное (ортогональное) сечение
Пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной её боковому ребру.
Свойства призмы
Основания призмы являются равными многоугольниками.
Боковые грани призмы являются параллелограммами.
Боковые ребра призмы параллельны и равны.
Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:
Объём призмы с правильным n-угольным основанием равен
(здесь s — длина стороны многоугольника).
Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.
Площадь боковой поверхности произвольной призмы , где — периметр перпендикулярного сечения, — длина бокового ребра.
Площадь боковой поверхности прямой призмы , где — периметр основания призмы, — высота призмы.
Площадь боковой поверхности прямой призмы с правильным n-угольным основанием равна
Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.
Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
Группой симметрии прямой n-угольной призмы с правильным основанием является группа Dnh порядка 4n, за исключением куба, который имеет группу симметрии Oh[en] порядка 48, содержащую три версии D4h в качестве подгрупп. Группой вращений[en] является Dn порядка 2n, за исключением случая куба, для которого группой вращений является группа O[en] порядка 24, имеющая три версии D4 в качестве подгрупп.
Группа симметрии Dnh включает центральную симметрию в том и только в том случае, когда n чётно.
Призматические многогранники
Призматический многогранник — это обобщение призмы в пространствах размерности 4 и выше. n-мерный призматический многогранник конструируется из двух (n − 1)-мерных многогранников, перенесённых в следующую размерность.
Элементы призматического n-мерного многогранника удваиваются из элементов (n − 1)-мерного многогранника, затем создаются новые элементы следующего уровня.
Возьмём n-мерный многогранник с элементами (i-мерная грань, i = 0, ..., n). Призматический ()-мерный многогранник будет иметь элементов размерности i (при , ).
По размерностям:
Берём многоугольник с n вершинами и n сторонами. Получим призму с 2n вершинами, 3n рёбрами и гранями.
Берём многогранник с v вершинами, e рёбрами и f гранями. Получаем (4-мерную) призму с 2v вершинами, рёбрами, гранями и ячейками.
Берём 4-мерный многогранник с v вершинами, e рёбрами, f гранями и c ячейками. Получаем (5-мерную) призму с 2v вершинами, рёбрами, (2-мерными) гранями, ячейками и гиперячейками.
Однородные призматические многогранники
Правильный n-многогранник, представленный символом Шлефли{p, q, ...,t}, может образовать однородный призматический многогранник размерности (n + 1), представленный прямым произведением двух символов Шлефли: {p, q, ...,t}×{}.
По размерностям:
Призма из 0-мерного многогранника — это отрезок, представленный пустым символом Шлефли {}.
Призма из 1-мерного многогранника — это прямоугольник, полученный из двух отрезков. Эта призма представляется как произведение символов Шлефли {}×{}. Если призма является квадратом, запись можно сократить: {}×{} = {4}.
Пример: Квадрат, {}×{}, два параллельных отрезка, соединённые двумя другими отрезками, сторонами.
многоугольная призма — это 3-мерная призма, полученная из двух многоугольников (один получен параллельным переносом другого), которые связаны прямоугольниками. Из правильного многоугольника {p} можно получить однородную n-угольную призму, представленную произведением {p}×{}. Если p = 4, призма становится кубом: {4}×{} = {4,3}.
4-мерная призма, полученная из двух многогранников (один получен параллельным переносом другого), со связывающими 3-мерными призматическими ячейками. Из правильного многогранника {p,q} можно получить однородную 4-мерную призму, представленную произведением {p,q}×{}. Если многогранник является кубом и стороны призмы тоже кубы, призма превращается в тессеракт: {4,3}×{} = {4, 3, 3}.
Призматические многогранники более высоких размерностей также существуют как прямые произведения двух любых многогранников. Размерность призматического многогранника равна произведению размерностей элементов произведения. Первый пример такого произведения существует в 4-мерном пространстве и называется дуопризмами, которые получаются произведением двух многоугольников. Правильные дуопризмы представляются символом {p}×{q}.
Скрученная призма — это невыпуклый призматический многогранник, полученный из однородной q-угольной путём деления боковых граней диагональю и вращения верхнего основания, обычно на угол радиан ( градусов), в направлении, при котором стороны становятся вогнутыми[3][4].
Скрученная призма не может быть разбита на тетраэдры без введения новых вершин. Простейший пример с треугольными основаниями называется многогранником Шёнхардта.
Скрученная призма топологически идентична антипризме, но имеет половину симметрий: Dn, [n,2]+, порядка 2n. Эту призму можно рассматривать как выпуклую антипризму, у которой удалены тетраэдры между парами треугольников.
William F. Kern, James R. Bland.Solid Mensuration with proofs.— 1938.
Catherine A. Gorini.The facts on file: Geometry handbook.— New York: Infobase Publishing, 2003.— (Facts on file).— ISBN 0-8160-4875-4.
Anthony Pugh.Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms//Polyhedra: A visual approach.— California: University of California Press Berkeley, 1976.— ISBN 0-520-03056-7.
Ссылки
Weisstein, Eric W.Prism(англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.
2019-2025 WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии
