WikiSort.ru - Не сортированное

Усечённый додекаэдр
(вращающаяся модель, 3D-модель)
Тип	архимедово тело
Свойства	выпуклый, изогональный
Комбинаторика
Элементы	32 грани 90 рёбер 60 вершин
Грани	20 треугольников 12 десятиугольников
Конфигурация вершины	3.102
Развёртка
Двойственный многогранник	триакисикосаэдр
Классификация
Обозначения	tD
Группа симметрии	Ih (икосаэдрическая)
Усечённый додекаэдр на Викискладе

Усечённый додека́эдр^[1][2][3] — полуправильный многогранник (архимедово тело) с 32 гранями, составленный из 20 правильных треугольников и 12 правильных десятиугольников.

В каждой из его 60 одинаковых вершин сходятся две десятиугольных грани и одна треугольная. Телесный угол при вершине равен ${\displaystyle 2\pi -\arccos \left(-{\frac {\sqrt {5}}{3}}\right)\approx 1,23\pi .}$

Усечённый додекаэдр имеет 90 рёбер равной длины. При 30 рёбрах (между двумя десятиугольными гранями) двугранные углы равны ${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {5}}{5}}\right)\approx 116,57^{\circ },}$ как в додекаэдре; при 60 рёбрах (между треугольной и восьмиугольной гранями) ${\displaystyle \arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {5}}}{15}}}\right)\approx 142,62^{\circ },}$ как в икосододекаэдре.

Усечённый додекаэдр можно получить из обычного додекаэдра, «срезав» с того 20 правильных треугольных пирамид, — либо как пересечение имеющих общий центр додекаэдра и икосаэдра.

В координатах

Усечённый додекаэдр можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы координаты его вершин были всевозможными циклическими перестановками наборов чисел

• ${\displaystyle (0;\;\pm (\Phi -1);\;\pm (\Phi +2)),}$
• ${\displaystyle (\pm (\Phi -1);\;\pm \Phi ;\;\pm 2\Phi ),}$
• ${\displaystyle (\pm \Phi ;\;\pm 2;\;\pm (\Phi +1)),}$

где ${\displaystyle \Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — отношение золотого сечения.

Начало координат ${\displaystyle (0;0;0)}$ будет при этом центром симметрии многогранника, а также центром его описанной и полувписанной сфер.

Метрические характеристики

Если усечённый додекаэдр имеет ребро длины ${\displaystyle a}$ , его площадь поверхности и объём выражаются как

${\displaystyle S=5\left({\sqrt {3}}+6{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 100,9907602a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {5}{12}}\left(99+47{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 85,0396646a^{3}.}$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {74+30{\sqrt {5}}}}\;a\approx 2,9694490a;}$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{4}}\left(5+3{\sqrt {5}}\right)a\approx 2,9270510a.}$

Вписать в усечённый додекаэдр сферу — так, чтобы она касалась всех граней, — невозможно. Радиус наибольшей сферы, которую можно поместить внутри усечённого додекаэдра с ребром ${\displaystyle a}$ (она будет касаться только всех десятиугольных граней в их центрах), равен

${\displaystyle r_{10}={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(25+11{\sqrt {5}}\right)}}\;a\approx 2,4898983a.}$

Расстояние от центра многогранника до центра любой треугольной грани превосходит ${\displaystyle r_{10}}$ и равно

${\displaystyle r_{3}={\frac {\sqrt {3}}{12}}\left(9+5{\sqrt {5}}\right)a\approx 2,9127812a.}$

Примечания

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Усечённый додекаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

• М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
• Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382-447.
• Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.

Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.