WikiSort.ru - Не сортированное

Гиробифастигиум
Гиробифастигиум
Тип	Многогранник Джонсона
Свойства	выпуклый, ячейка сот
Комбинаторика
Элементы	${\displaystyle 14}$  рёбер ${\displaystyle 8}$  вершин
Грани	4 треугольника 4 квадрата
Развёртка
Двойственный многогранник	-
Классификация
Группа симметрии	D2d

В геометрии гиробифастигиум или двускатный повёрнутый бикупол^[1] является 26-м многогранником Джонсона (J₂₆). Его можно построить объединением двух треугольных призм с правильными гранями по соответствующим квадратным граням с поворотом одной призмы на 90º ^[2]. Это единственное тело Джонсона, которым можно заполнить трёхмерное пространство^[3][4].

История и название

Многогранник Джонсона является одним из 92 строго выпуклых многогранников, имеющих правильные грани, но не являющихся однородными многогранниками^[en] (то есть не являющихся платоновыми телами, архимедовыми телами, призмами, или антипризмами). Тела названы именем Нормана Джонсона^[en], впервые перечислившего их в 1966 ^[5].

Название гиробифастигиум происходит от латинского слова fastigium, означающего двускатную крышу ^[6]. В стандартных соглашениях наименования тел Джонсона би- означает соединение двух тел по их базису, а гиро- означает две половинки, повёрнутые относительно друг друга.

Положение гиробифастигиума в списке тел Джонсона непосредственно перед бикуполом^[en] объясняется тем, что его можно рассматривать как двуугольный гиробикупол. Подобно тому, как другие правильные куполы имеют чередующиеся квадраты и треугольники, окружающие многоугольник в вершине (треугольник^[en], квадрат или пятиугольник^[en]), каждая половина гиробифастигиума состоит из чередующихся квадратов и треугольников, соединённых сверху ребром.

Соты

Повёрнутые треугольные призматические соты можно построить, упаковывая большое количество одинаковых гиробифастигиумов. Гиробифастигиум является одним из пяти выпуклых многогранников с правильными гранями, способными заполнить пространство (другие четыре — куб, усечённый октаэдр, треугольная и шестиугольная призмы), и единственное тело Джонсона с этим свойством^{[3] [4]}.

Формулы

Следующие формулы для объёма и площади поверхности можно использовать, если все грани являются правильными многоугольниками с рёбрами длины a:

${\displaystyle V=({\frac {\sqrt {3}}{2}})a^{3}\approx 0.866025...a^{3}}$

${\displaystyle A=(4+{\sqrt {3}})a^{2}\approx 5.73205...a^{2}}$

Топологически эквивалентные многогранники

Бипризма Шмитта-Конвея-Данцера

Бипризма Шмитта-Конвея-Данцера (называемая также протоплиткой SCD^[7]) является многогранником, топологически эквивалентным гиробифастигиуму, но с параллелограммами и неправильными треугольниками в качестве граней вместо квадратов и правильных треугольников. Подобно гиробифастигиуму, этот многогранник может заполнить пространство, но только апериодически^[en]* или с винтовой симметрией^[en], а не с полной группой трёхмерной симметрии. Таким образом, этот многогранник даёт частичное решение трёхмерной задачи одной плитки^[8][9].

Связанные многогранники

Двойственный многогранник гиробифастигиума имеет 8 граней — 4 равнобедренных треугольника, соответствующих вершинам степени 3, и 4 параллелограмма, соответствующих вершинам степени 4.

Бифастигиум (дигональный ортобикупол^[en]), подобно гиробифастигиуму, образован склеиванием двух равносторонних треугольных призм по боковой квадратной стороне, но без поворота. Он не является телом Джонсона, поскольку его треугольные грани копланарны (лежат в одной плоскости). Однако существует самодвойственный выпуклый многогранник с неправильными гранями, обладающий той же комбинаторной структурой. Этот многогранник имеет сходство с гиробифастигиумом в том, что они имеют по восемь вершин и восемь граней, с гранями, образующими пояс из четырёх квадратных граней, разделяющих две пары треугольников. Однако в двойственном гиробифастигиуме две пары треугольников повёрнуты относительно друг друга, а в бифастигиуме не повёрнуты.

Примечания

Литература

• S. M. Nazrul Alam, Zygmunt J. Haas. Proceedings of the 12th Annual International Conference on Mobile Computing and Networking (MobiCom '06). — New York, NY, USA: ACM, 2006. — P. 346–357. — ISBN 1-59593-286-0. — DOI:10.1145/1161089.1161128.
• Johannes Kepler. The Six-Cornered Snowflake. — Paul Dry Books, 2010. — ISBN 9781589882850. Сноска 18
• David J. Darling. The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes. — John Wiley & Sons, 2004. — ISBN 9780471667001.
• Norman W. Johnson. Convex polyhedra with regular faces // Canadian Journal of Mathematics. — 1966. — Т. 18. — DOI:10.4153/cjm-1966-021-8.
• Anthony Rich. Dictionary of Greek and Roman Antiquities / William Smith. — London: John Murray, 1875.
• Marjorie Senechal. Quasicrystals and Geometry. — Cambridge University Press, 1996. — ISBN 9780521575416.
• В. А. Залгаллер. Выпуклые многогранники с правильными гранями // Зап. научн. сем. ЛОМИ. — 1967. — Т. 2.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Гиробифастигиум (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.