WikiSort.ru - Не сортированное

Треугольная мозаика
Тип	Правильная мозаика
Вершинная фигура	3.3.3.3.3.3 (36)
Символ Шлефли
Символ Витхоффа[en]	6 | 3 2 3 | 3 3 | 3 3 3
Диаграмма Коксетера	=
Группа симметрии	p6m[en], [6,3], (*632)
Вращательная симметрия	p6[en], [6,3]+, (632) p3[en]*, [3[3]]+, (333)
Двойственная мозаика	Шестиугольная мозаика
Свойства	Вершинно транзитивна, рёберно транзитивна[en], транзитивна по граням[en]

Треуго́льный парке́т (треугольный паркета́ж^[1]) или треугольная мозаика — это замощение плоскости равными правильными треугольниками, расположенными сторона к стороне.

Треугольная мозаика является двойственной шестиугольной мозаике — если соединить центры смежных треугольников, то проведённые отрезки дадут шестиугольную мозаику^[1][2]. Символ Шлефли треугольного паркета — {3,6}, что означает, что в каждой вершине паркета сходятся 6 треугольников.

Внутренний угол правильного треугольника равен 60 градусов, так что шесть треугольника в одной вершине дают вместе 360 градусов. Это одна из трёх правильных мозаик плоскости. Другие две мозаики — шестиугольный паркет и квадратный паркет.

Английский математик Конвей называл мозаику deltille (дельта-мозаикой), поскольку она имеет форму греческой буквы дельта (Δ). Треугольную мозаику можно также назвать кис-шестиугольной мозаикой, если применить операцию kis^[en], которая добавляет центральную вершину и треугольники, разбивая грани шестиугольной мозаики.

Однородные раскраски

Существует 9 различных однородных раскрасок^[en] треугольной мозаики (по цветам 6 треугольников вокруг вершины — 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314). Три из них можно получить их других путём замены цветов — 111212 и 111112 из 121213, комбинируя 1 и 3, в то время как 111213 получается из 121314^[3].

Существует один класс архимедовой раскраски^[en], 111112, (помечен *), в котором раскраска не является 1-однородной и содержит перемежающиеся ряды треугольников, в которых каждый третий выкрашен. Приведённая раскраска является 2-однородной и таких имеется бесконечно много, поскольку такие раскраски определяются произвольными сдвигами строк.

111111	121212	111222	112122	111112(*)
p6m (*632)	p3m1 (*333)	cmm (2*22)	p2 (2222)	p2 (2222)

121213	111212	111112	121314	111213
p31m (3*3)			p3 (333)

Решётка A2 и упаковка кругов

Расположение вершин^[en] треугольной мозаики называется решёткой A₂^[4]. Она является 2-мерным вариантом симлектических сот^[en].

Решётка A*
2 (которая также называется A3
2) может быть построена как объединение трёх решёток A₂ и эквивалентна решётке A₂.

+ + = dual of =

Вершины треугольной мозаики являются центрами наиболее плотной упаковки кругов ^[5]. Любой круг соприкасается с 6 другими кругами (контактное число). Плотность упаковки равна ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{\sqrt {12}}}}$ , это около 90,69 %. Поскольку объединение трёх решёток A₂ снова будет решёткой A₂, круги можно раскрасить в три цвета.

Ячейкой диаграммы Вороного треугольной мозаики является шестиугольник, так что мозаика Вороного, шестиугольная мозаика, имеет прямое отношение к упаковке кругов.

Решётка A2 упаковки кругов	Решётка A* 2 упаковки кругов

Геометрические варианты

Треугольные мозаики могут быть идентичны {3,6} топологии правильной мозаики (6 треугольника в каждой вершине). Существует 5 вершинно транзитивных вариантов с одинаковыми гранями (транзитивных по граням^[en]). С точки зрения симметрии все грани имеют одинаковый цвет, раскраска же на рисунках представляет положение в сетке^[6].

• 
  Разносторонний треугольник
  симметрия p2
• 
  Разносторонний треугольник
  симметрия pmg
• 
  Равнобедренный треугольник
  симметрия cmm
• 
  Прямоугольный треугольник
  симметрия cmm
• 
  Правильный треугольник
  симметрия p6m

Связанные многогранники и мозаики

Плоские мозаики связаны с многогранниками. Располагая меньше треугольников в каждой вершине, получим незаполненное пространство, что позволяет согнуть в фигуру в пирамиду. Отсюда можно получить правильные многогранники: пять, четыре и три треугольника в вершине дают икосаэдр, октаэдр и тетраэдр соответственно.

Эта мозаика топологически связана (как часть последовательности) с правильными многогранниками с символами Шлефли {3,n}.

*n32 симметрии правильных мозаик: 3ⁿ or {3,n}

Сферическая				Евклидова	Компактная гипербол.		Пара- компактная	Некомпактная гиперболическая
3.3	33	34	35	36	37	38	3∞	312i	39i	36i	33i

Эта мозаика топологически связана (как часть последовательности) с полуправильными многогранниками с конфигурацией граней Vn.6.6.

V3.6.6

V4.6.6

V5.6.6

V6.6.6

V7.6.6[en]

Построение Витхоффа из шестиугольных и треугольных мозаик

Подобно однородным многогранникам^[en] существует восемь однородных мозаик, базирующихся на правильных шестиугольных мозаиках (или на двойственных треугольных мозаиках).

Если нарисовать плитки исходных граней красным, исходные вершины (получившиеся на их месте многоугольники) жёлтым, а исходные рёбра (получившиеся на их месте многоугольники) синим, существует 8 форм, 7 из которых топологически различны. (Усечённая треугольная мозаика топологически идентична шестиугольной мозаике.)

Однородные шестиугольные/треугольные мозаики
Фундаментальные домены	Симметрия: [6,3], (*632)							[6,3]+, (632)
	{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}
Конфиг.	63	3.12.12	(6.3)2	6.6.6	36	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Треугольные мозаики
Витхофф	3 | 3 3	3 3 | 3	3 | 3 3	3 3 | 3	3 | 3 3	3 3 | 3	3 3 3 |	| 3 3 3
Коксетер
Рисунок Вершинная фигура	(3.3)3	3.6.3.6	(3.3)3	3.6.3.6	(3.3)3	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

Связанные правильные комплексные бесконечноугольники

Существует 4 правильных комплексных апейрогона^[en], имеющих те же вершины шестиугольной мозаики. Рёбра правильных комплексных апейрогонов могут содержать 2 и более вершин. Правильные апейрогоны p{q}r имеют ограничение: 1/p + 2/q + 1/r = 1. Рёбра имеют p вершин и вершинные фигуры являются r- угольниками ^[7].

Первый апейрогон состоит из 2-рёбер, следующие два имеют треугольные рёбра, последний имеет перекрывающиеся шестиугольные рёбра.

2{6}6 или	3{4}6 или	3{6}3 или	6{3}6 или

Другие треугольные мозаики

Существуют также три мозаики Лавеса^[en], состоящие из треугольников одного типа:

Разделённая ромбическая[en] 30°-60°-90° прямоугольные треугольники

Разделённая квадратная 45°-45°-90° прямоугольные треугольники

триразделённая треугольная мозаика[en] 30°-30°-120° равнобедренные треугольники

См. также

• Замощение
• Полиамонд
• Шестиугольная решётка
• Треугольные мозаичные соты^[en]
• Симлектические соты^[en]
• Мозаики из выпуклых правильных многоугольников на евклидовой плоскости
• Список однородных мозаик^[en]
• Isogrid^[en] (структурное проектирование, использующее треугольную мозаику)

Примечания

Литература

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Triangular Grid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. Regular tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. Uniform tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Klitzing, Richard. 2D Euclidean tilings x3o6o - trat - O2
• Amit Patel. Grid Math: Square, Hexagon, Triangle (неопр.). — Алгоритмы представления шестиугольной и треугольной сеток в компьютерных стратегических играх.

п • о • р Фундаментальные выпуклые правильные и однородные соты в пространствах размерности 2–10
Семейство	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$ / ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ / ${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
Однородная мозаика	{3[3]}	δ3	hδ3	qδ3	Шестиугольная
Однородные выпуклые соты	{3[4]}	δ4	hδ4	qδ4
однородные пятимерные соты	{3[5]}	δ5	hδ5	qδ5	Соты из 24-ячеек
однородные шестимерные соты	{3[6]}	δ6	hδ6	qδ6
однородные семимерные соты	{3[7]}	δ7	hδ7	qδ7	222
однородные восьмимерные соты	{3[8]}	δ8	hδ8	qδ8	133 • 331
однородные девятимерные соты	{3[9]}	δ9	hδ9	qδ9	152 • 251 • 521
Однородные n-мерные соты	{3[n]}	δn	hδn	qδn	1k2 • 2k1 • k21

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.