WikiSort.ru - Не сортированное

Комбинато́рика (комбинаторный анализ) — раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика связана с другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и применяется в различных областях знаний (например, в генетике, информатике, статистической физике).

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

Иногда под комбинаторикой понимают более обширный раздел дискретной математики, включающий, в частности, теорию графов.

Примеры комбинаторных конфигураций и задач

Для формулировки и решения комбинаторных задач используют различные модели комбинаторных конфигураций. Примерами комбинаторных конфигураций являются:

• Размещением из n элементов по k называется упорядоченный набор из k различных элементов некоторого n-элементного множества.
• Перестановкой из n элементов (например чисел 1, 2, … n) называется всякий упорядоченный набор из этих элементов. Перестановка также является размещением из n элементов по n.
• Сочетанием из n по k называется набор k элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.
• Композицией числа n называется всякое представление n в виде упорядоченной суммы целых положительных чисел.
• Разбиением числа n называется всякое представление n в виде неупорядоченной суммы целых положительных чисел.

Примеры комбинаторных задач:

1. Сколькими способами можно разместить n предметов по m ящикам, чтобы выполнялись заданные ограничения?
2. Сколько существует функций ${\displaystyle F}$ из m-элементного множества в n-элементное, удовлетворяющих заданным ограничениям?
3. Сколько существует различных перестановок из 52 игральных карт?

   Ответ: 52! (52 факториал), то есть, 80 658 175 170 943 878 571 660 636 856 403 766 975 289 505 440 883 277 824 000 000 000 000 или примерно 8,0658 ⋅ 10⁶⁷.

4. При игре в кости бросаются две кости, и выпавшие очки складываются; сколько существует комбинаций, в которых сумма очков на верхних гранях равна двенадцати?

   Решение: Каждый возможный исход соответствует функции ${\displaystyle F:\{1,2\}\to \{1,2,3,4,5,6\}}$ (аргумент функции — это номер кости, значение — очки на верхней грани). Очевидно, что лишь 6 + 6 даёт нам нужный результат 12. Таким образом, существует лишь одна функция, ставящая в соответствие 1 число 6, и 2 число 6. Или, другими словами, существует всего одна комбинация, при которой сумма очков на верхних гранях равна двенадцати.

Разделы комбинаторики

Открытые проблемы

Комбинаторика, и в частности, теория Рамсея, содержит много известных открытых проблем, подчас с весьма несложной формулировкой. Например, неизвестно, при каком наименьшем N в любой группе из N человек найдутся 5 человек, либо попарно знакомых друг с другом, либо попарно незнакомых (хотя известно, что 49 человек достаточно).^[1]

Исторический очерк

Джероламо Кардано написал математическое исследование игры в кости, опубликованное посмертно. Теорией этой игры занимались также Тарталья и Галилей. В историю зарождавшейся теории вероятностей вошла переписка заядлого игрока Шевалье де Мерэ с Пьером Ферма и Блезом Паскалем, где были затронуты несколько тонких комбинаторных вопросов. Помимо азартных игр, комбинаторные методы использовались (и продолжают использоваться) в криптографии — как для разработки шифров, так и для их взлома.

Блез Паскаль много занимался биномиальными коэффициентами и открыл простой способ их вычисления: «треугольник Паскаля». Хотя этот способ был уже известен на Востоке (примерно с X века), Паскаль, в отличие от предшественников, строго изложил и доказал свойства этого треугольника. Наряду с Лейбницем, он считается основоположником современной комбинаторики. Сам термин «комбинаторика» придумал Лейбниц, который в 1666 году (ему было тогда 20 лет) опубликовал книгу «Рассуждения о комбинаторном искусстве». Правда, термин «комбинаторика» Лейбниц понимал чрезмерно широко, включая в него всю конечную математику и даже логику^[2]. Ученик Лейбница Якоб Бернулли, один из основателей теории вероятностей, изложил в своей книге «Искусство предположений» (1713) множество сведений по комбинаторике.

В этот же период формируется терминология новой науки. Термин «сочетание» (combination) впервые встречается у Паскаля (1653, опубликован в 1665 году). Термин «перестановка» (permutation) употребил в указанной книге Якоб Бернулли (хотя эпизодически он встречался и раньше). Бернулли использовал и термин «размещение» (arrangement).

После появления математического анализа обнаружилась тесная связь комбинаторных и ряда аналитических задач. Абрахам де Муавр и Джеймс Стирлинг нашли формулы для аппроксимации факториала.^[3]

Окончательно комбинаторика как самостоятельный раздел математики оформилась в трудах Эйлера. Он детально рассмотрел, например, следующие проблемы:

• задача о ходе коня;
• задача о семи мостах, с которой началась теория графов;
• построение греко-латинских квадратов;
• обобщённые перестановки.

Кроме перестановок и сочетаний, Эйлер изучал разбиения, а также сочетания и размещения с условиями.

Комбинаторика в языкознании

Комбинаторика (языкознание) — это свойство единиц языка и соответствующих им единиц речи вступать в синтагматические отношения, то есть в отношения сочетаемости.

См. также

• Комбинаторная оптимизация
• Теория вероятностей

Примечания

Литература

• Андерсон, Джеймс.  Дискретная математика и комбинаторика = Discrete Mathematics with Combinatorics. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 960. — ISBN 0-13-086998-8.
• Виленкин Н. Я.  Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975.
• Ерош И. Л. Дискретная математика. Комбинаторика — СПб.: СПбГУАП, 2001. — 37 c.
• Липский В.  Комбинаторика для программиста. — М.: Мир, 1988. — 213 с.
• Раизер Г. Дж.  Комбинаторная математика. — пер. с англ. — М., 1966.
• Райгородский А. М.  Линейно-алгебраические и вероятностные методы в комбинаторике. — Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2006.
• Рейнгольд Э., Нивергельт Ю., Део Н.  Комбинаторные алгоритмы. Теория и практика. — М.: Мир, 1980. — 476 с.
• Риордан Дж.  Введение в комбинаторный анализ. — пер. с англ. — М., 1963.
• Стенли Р.  Перечислительная комбинаторика = Enumerative Combinatorics. — М.: «Мир», 1990. — С. 440. — ISBN 5-03-001348-2.
• Стенли Р.  Перечислительная комбинаторика. Деревья, производящие функции и симметрические функции = Enumerative Combinatorics. Volume 2. — М.: «Мир», 2009. — С. 767. — ISBN 978-5-03-003476-8.

Ссылки

В Викисловаре есть статья «комбинаторика»

• Теория вероятностей. 3. Элементы комбинаторики
• Белешко Д. Комбинаторика. 2004.

Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.